数学I・制限された定義域での最大値・最小値

長さ40cmのいとを二つに切り、それぞれで正方形を作る。
2つの正方形の面積の和を最小にするには、いとをどのように切ればよいか？


その、２つの正方形の「週の長さ」、「面積」はどうやって求めればいいのでしょうか？

それから、問題文の通りに最小にするにはどうやって求めればいいんでしょう？


出来るだけ、どうしてそうなるのかを教えてくれるとありがたいです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： KURIDORAYAKI#2 回答日時： 2011/09/01 20:58

切った１つの糸をxcm,もうひとつの糸を(40-x)cmとする

xcmの糸で作る正方形は１辺(x/4)cmなので面積は(x/4)^2=x^2/16 cm2
(40-x)cmの糸で作る正方形は１辺(40-x)/4cmなので面積は(40-x)^2/16 cm2
よって面積の和は
x^2/16+(40-x)^2/16
=(x^2+1600-80x+x^2)/16
=(2x^2-80x+1600)/16
=(1/8)×(x^2-40x)+100
=(1/8)×(x-20)^2-(1/8)×400+100--->ここで平方完成
=(1/8)×(x-20)^2-50+100
=(1/8)×(x-20)^2+50
このグラフは頂点(20,50)で下に凸なのでx=20の時最小になります
よってx=20cmの時面積の最小値は50cm2

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

何とか理解できました(^^)

お礼日時：2011/09/02 12:01

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2011/09/02 11:29

この程度の問題なら、いろんな方法が考えられるが、以下はその一つ。

高校1年のこの時期だから、相加平均・相乗平均は　習ってると思うが？

長さ40cmのいとを二つに切った時、その2つの長さ　をx、y　とする。但し、x＞0、y＞0
条件から、x＋y＝40.　x＞0、y＞0　より　相加平均・相乗平均から　x＋y≧2√(xy)　等号は　x＝yの時。
x＋y≧2√(xy)　→　40≧2√(xy)　→　xy≦400　‥‥(1)
Ｓ＝x＾2＋y＾2＝(x＋y)＾2-2xy＝1600-2xy。
2xy＝1600-Ｓだから、これを(1)に代入すると、Ｓ≧800.　等号は、x＝y＝20の時。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/09/02 12:02

No.1 回答者： nattocurry 回答日時： 2011/09/01 20:43

1本の糸で正方形を作るなら、一辺の長さは糸の長さの1/4。

そうすると面積は？

40cmの糸を2つに切るんだから、片方の長さをxcmとすると、もう片方は？
それぞれの正方形の面積は？
2つの面積を足して、平方完成で最小値を求めることができる。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2011/09/02 12:02