図形について

正三角形や正方形、一部の台形は４つで元の形に相似な図形が作れますよね。
他の多角形でも同じことが可能なのでしょうか？
また、こういったことが可能不可能であることを示した論文などは有るでしょうか？

質問者からの補足コメント

• yhr2さん
  質問の条件が曖昧で申し訳ないです。
  正多角形に限らずどのような図形でもよく、図形は何個でも使ってよいという想定です。

    補足日時：2024/08/26 07:00

• ただの思いつきの質問でしたが、皆さん多くの回答ありがとうございます！

    補足日時：2024/08/29 12:03

No.10 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/08/27 16:17

次のような六角形は組み合わせることで相似な六角形を作れます。

3つの正方形をL字型に貼り合わせた六角形

この六角形をうまく組み合わせると正方形を作ることができます。
(例えば180°回したものを合わせると長方形を作ることができます。これを複数個並べると正方形が作れます。)
できた正方形を3つ貼り合わせるともとの図形と相似な六角形が作れます。

もっと複雑な図形も作れます。
方眼紙に一辺が偶数のマスとなる正方形を書きます。
その中心からマスの線に沿った線を交差しないように辺まで伸ばします。
(何回でも折れ曲がってもよい)
今書いた線と中心に対して点対称な線を引く。
引いた線で正方形を2分割した図形は合同で、二つ合わせると正方形になる。
この二つの図形は正方形をつなげることで作ることができる。

No.12 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/27 20:54

#10さんの例は図の通り

No.11 回答者： usa3usa 回答日時： 2024/08/27 17:13

No5です

＞5角形以上は無理な気がします
No10さんの反例があったのでこの仮説は否定されましたね。

No10さん、あっぱれ。
確かに６角形でも相似な６角形つくれますね！

No.9 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/26 17:13

#4訂正です

全ての3角形
や
全ての(正方形,長方形等を含む)平行4辺形
と
一部の台形(辺比1:1:1:2の等脚台形)
は
4つで元の形に相似な図形がつくれます

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2024/08/26 15:58

どんな図形でもデキるか？ もちろん、★をどう並べればでっかい★が作れるか、と考えてみれば、ムリそうだと分かりますよね。

　デキるための必要条件を一つ考えてみましょう。互いに合同な複数の小さい図形を組み合わせて、でっかい図形を作る。（それが元の図形と相似かどうかはとりあえず気にしないことにします。）すると、作ったでっかい図形の内部にスキマが生じてはいけない。言い換えれば、小さい図形の頂点のうち、でっかい図形の内部に存在する点について、それは他の小さい図形とその点を共有して、キッチリ360度を埋め尽くさなくてはならない。だからその小さい図形には「頂点のいくつかを組み合わせて、丁度360度が作れる」という性質が必要。

> 正三角形や正方形、一部の台形は

三角形や平行四辺形の場合には、でっかい図形が明らかに必ず作れます。さて、上記の条件に照らしてみると、三角形なら3つの角の合計が必ず180度なんで、これを2つ持って来れば360度。上記の必要条件を確かに満たしています。四角形も4つの角の合計が必ず360度だから上記の必要条件を満たしています。しかしおっしゃるところの「一部の台形」以外の台形ではデキナイですね。

　ところで、でっかい相似の図形が作れるのなら、それを要素として組み合わせてもっとでっかい相似の図形を作り、それをまた組み合わせて、…というやり方で平面を埋め尽くすことができる。一つの図形で平面を埋め尽くす、という問題をタイリングと言います。タイリングは大昔からある分かりやすいけれども自明ではない面白い分野で、今なお新しい例の発見が続いています。

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2024/08/26 14:55

＞正多角形に限らずどのような図形でもよく、図形は何個でも使ってよいという想定です。

ならば どんな多角形でも 可能ではないでしょうか。
当該の　N多角形の 内側に 点 を書き、各頂点と その点を結べば、
三角形が N 個 出来る筈です。
その 結んだ線を 決められた倍率で 延ばせば 相似形が出来ますね。
この方法なら 特殊な 凹多角形でも可能な筈。

No.6 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/08/26 13:49

正三角形に限らず、全ての三角形は4つくっつけることで元の三角形と相似な三角形となります。

元の三角形の各辺を2倍にした三角形を作り、その各辺の中点を結ぶ線分を追加すると、その3本の線で分割された4つの三角形は全て元の三角形と合同となります。
証明は簡単。

同様に全ての平行四辺形を４つ組み合わせると元の平行四辺形と相似なものが得られることがわかります。(各辺を2倍にした平行四辺形を考えて、態変の中点どうしを結ぶと元の平行四辺形が４つ得られる)

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2024/08/26 11:13

5角形以上は無理な気がします

複数組み合わせて元の形に相似な図形が作れた場合、任意の辺ＡＢは複数の元図形の組み合わせで出来ている
→　相似図形の辺ＡＢの途中の点Ｃは、組み合わせて直線となっている
→　点Ｃには少なくとも２つ以上の元の図形が使われている
一方、５角形以上だと２つの角の和が１８０度以上の組み合わせが必ず発生する

これらの事実を使って不可能なことが証明できるのでは？

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/26 11:07

正3角形

や
(正方形,長方形等を含む)平行4辺形
と
一部の台形
は
4つで元の形に相似な図形がつくれます

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/08/26 07:00

平行4辺形