ｎ進法への変形の仕方についての質問です

Question

１０進法で６３とあらわされる数を他の進法で表すと
 (1)６３＝１・２＾５＋１・２＾４＋１・２＾３＋１・２＾１＋１と変形できるので２進法では１１１１１１
 (2)６３＝２・５＾２＋２・５＾１＋３と変形できるので５進法では２２３
 
…とありますが、この途中の式はどのようにしてこの形にするのでしょうか？
 途中式への変形の仕方がわかりません
 
どなたかお願いします…

matsu_jun · Accepted Answer

asd0pse様、こんにちわ
皆様がおっしゃっている通り、またasd0pse様が理解している通り
「元の数をnで割り、商を更にnで割り という作業を、nで割ることができなくなるまで繰り返す。」
この作業を1つずつ式にすることで、回答になりますでしょうか。

63を5進数で表記

63 ＝ 12×5 ＋ 3　　　　　　　← 「63を5で割って、商12、余3を得る」を式化
　 ＝ ((2×5)＋2)×5 ＋ 3　　 ← 「商12を5で割って、商2、余2を得る」を式化
　 ＝ 2×5×5 ＋ 2×5 ＋ 3　　← それ以上の除算はできないので、カッコを外す作業開始
　 ＝ 2×5^2 ＋ 2×5^1 ＋ 3　 ← 記述式の完成

63を2進数で表記

63 ＝ 31×2 ＋ 1　←　「63を2で割って、商31、余1を得る」を式化
　 ＝ ((15×2)＋1)×2 ＋ 1　←　「商31をさらに2で割って、商15、余1を得る」を式化
　 ＝ (((7×2)＋1)×2＋1)×2 ＋ 1　←　「商15をさらに2で割って、商7、余1を得る」を式化
　 ＝ ((((3×2)＋1)×2＋1)×2)＋1)×2 ＋ 1　←　「商7をさらに2で割って、商3、余1を得る」を式化
　 ＝ (((((1×2)＋1)×2＋1)×2＋1)×2)＋1)×2 ＋ 1　←　「商3をさらに2で割って、商1、余1」を式化
　 ＝ ((((1×2)＋1)×2＋1)×2＋1)×2^2 ＋ 1×2^1 ＋ 1　←　それ以上の除算はできないので、(一番外側の)カッコを外す作業開始
　 ＝ (((1×2)＋1)×2＋1)×2^3 ＋ 1×2^2 ＋ 1×2^1 ＋ 1　←　次のカッコを外す作業
　 ＝ ((1×2)＋1)×2^4 ＋ 1×2^3 ＋ 1×2^2 ＋ 1×2^1 ＋ 1 　←　次のカッコを外す作業
　 ＝ 1×2^5 ＋ 1×2^4 ＋ 1×2^3 ＋ 1×2^2 ＋ 1×2^1 ＋ 1 　←　最後のカッコを外して、記述式の完成

rnakamra · Answer

#4のものです。

十進数の場合での表記方法をちゃんと書いているでしょ。
与えられた非負の整数をXとするとXの十進表記は次の様に得られる。
>(1)X(0)=X,k=0とする。
>(2)X(k)を10で割ったときの商の整数部分をX(k+1),余りをA(k)とする。
>(3)X(k+1)≠0であればkの値を1増やし(2)に戻る。X(k+1)=0であれば(4)に進む。
>(4)Xの十進表記は
>X=Σ[m:0～k]A(m)*10^m
>となります。

この
X=Σ[m:0～k]A(m)*10^m
こそが質問にある途中の式なのです。n進数なら10の代わりにnを入れればよいのです。

ではなぜこのように書けるのか、考えて見ましょう。
1234という十進数を考えて見ます。
(2)のステップを1回でやめて見ると
A(0)=4,X(1)=123
となります。
これは
1234÷10=123…4
ですが、これを変形すると
1234=123×10+4　　(※1)
となります。

さらにもう一段ステップを進めると
A(1)=3,X(2)=12
となりますが、これは
X(1)=123=12×10+3
を意味します。これを(※1)に入れると
1234=123×10+4=(12×10+3)×10+4  (※2)
となります。ここではあえて括弧を外さないでおいておきます。

さらにもう一段進めると
A(2)=2,X(3)=1
同様に
1234=((1×10+2)×10+3)×10+4  (※3)
このように括弧の中の式がさらに○×10+△の形になっていくわけです。

ではこの括弧を外していきます。内側から外していきましょう。
1234=((1×10+2)×10+3)×10+4=(1×10^2+2×10+3)×10+4=1×10^3+2×10^2+3×10+4
というように展開できるのです。
これはn進数であろうが全く同様に出来ます。
m桁の数であれば括弧が(m-2)個入れ子になっている形になるのです。

最後によけいかも知れませんが一言。

やはり、この程度ことがわかっていないようならn進数のことをわかっていないとしかいえません。表層的な理解でわかった、などといわないほうがよい。
変な慢心は真の理解への妨げにしかなりません。
もちろん、私が全てを理解しているわけでもありません。n進数の更なる真相など私には全くわかりません。

AsanoNagi · Answer

> 私が質問したいのは６３（１０）→２２３（２）
> とする「表し方」ではなく、途中式の「変形の仕方」なんです

もしかしたら、５進数の 223 が、2 * 2^3 + 2 * 2^1 + 3 と、「変形される」のがわからないと意味なのでしょうか？

10進数の63を 2 * 2^3 + 2 * 2^1 + 3 と変形するのは、確かにちょっと敷居は高いですが、逆の変形は、n 進数の定義そのものと言えます。

たとえば、10進数の 1234 は、1 * 1000 + 2 * 100 + 3 * 10 + 4 です。
言い換えれば、10進数の 1234 は、1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0 です。
さらに言い換えれば、 n 進数の 1234 は、 1 * n^3 + 2 * n^2 + 3 * n^1 + 4 * n^0 です。

と言うわけで、n 進数の abcd というのは、a * n^3 + b * n^2 + c * n^1 + d * n^0 を略記したものです。

mister_moonlight · Answer

一般では理解できても(＝理解しているつもりでも)、個別に適用できない。
つまり、それが“判っていない”証拠なんだが、それを察して、ごちゃごちゃ言わずに具体的に示してやれば良い。
回答者も　余計な書き込みをするな。あっ、私もだ。。。。。。ｗ

misawajp · Answer

n進法は「判っていると強がっていますが、理解されていません

理解していれば、各回答で質問者言うところの変形はわかります、それが判らないと強調していることはn進法が理解できていないことに気づくべきです
そしてもう一度学習することです（思い込みを捨てることができれば、すぐに理解できるでしょう)

AsanoNagi · Answer

おそらく、「途中の計算」は、次の授業で出てくると思います。
というか……。

実際、この段階で一度つまずく人は多いです。
たとえば、５進数の223は、十進数に直すと、63になるというのは、案外理解しやすいのですが、じゃ、どうやったら、63を５進数で表せるかというのは、ちょっと取っつきが悪いです。

言い換えると、そこを気にしない人の割合の方が多いのです。

ただ、ある意味で「10進数も完全には理解できていない」というのは、それはそれで、正しいのです。
この質問が出るということは、ｎ進数というのが出てきたばかりでしょうから。

また、10進数の理解といっても、プログラミングの問題で、12345 を一桁ずつ切り出せといっても、諸学者にとってはそこそこハードルが高いのも事実で、普段使い慣れているものの、「構造」なんかは、なかなか理解できないものです。

というわけで、直接の回答ではありませんでした。失礼しました。

と、ここまで書いてきて、ちょっと状況が違うようなので。

> 私が質問したいのは６３（１０）→２２３（２）
> とする「表し方」ではなく、途中式の「変形の仕方」なんです；

まず、既に回答で説明されている、「割りつつ余りを逆順に並べる」というのが、「変形のしかた」そのものです。

63(10) = a + b * 5 + c * 5^2 とおいて、a, b, c を求める計算ですが、

両辺を５で割ると

63÷5 = 12 余り 3 
a + b * 5 + c * 5^2 ÷ 5 = b + c * 5 余り a 
つまり、a = 3

引き続き、

12 = b + c * 5 の両辺を５で割ると、
12÷5 = 2 余り 2
b + c * 5 ÷ 5 = c 余り b
つまり、b = 2 （余り）
ついでに、c = 2 （こっちは商）

です。

で、付け加えると、こういう表し方は本当に一通りしかないのかというと、一通りしかないことは証明できます。

mister_moonlight · Answer

[10進数から5進数への計算]

10進数の数字を5進数に変換するには 10進数を5で割る。
この答えをまた5で割る。これを繰り返し、商が0になった時点で、余りを逆順に並び替えたものが5進数になる。

63を5進法で、やってみよう。63を5で割ると、商が12で余りが3。12を5で割ると、商が2で余りが2。2を5で割ると、商が0で余りが2。
従って、６３＝２・５＾２＋２・５＾１＋３と変形できるので５進法では２２３

これは、2進法でも同じ。自分でやってみたら良い。

rnakamra · Answer

真の意味での"n進数"が理解できていないのでしょう。多分十進数も完全にわかっていないのでしょう。

十進数の"63"はどのような数なのでしょうか。
それがきちんと説明できれば2進数も5進数も全く同様に出来ます。

63では桁数が小さいの"263"という数を考えます。
何か適当なものが263個あったとすると、小学1,2年生なら次の様に数えると思います。

・まず10個ずつの塊に分けていく
10個の塊が26個、3個だけ余る。余った"3"が一の位になる。

・次に10個の塊をさらに10ずつに分ける
10個を10セットまとめたものが2個でき、6個の塊が余る。余った"6"が十の位になる。

・次に10個の塊10セットのまとまりを10個ずつに分ける。
数が足りない。2個のセットが余る。余った"2"が百の位になる。

これを言い換えると
与えられた非負の整数をXとするとXの十進表記は次の様に得られる。
(1)X(0)=X,k=0とする。
(2)X(k)を10で割ったときの商の整数部分をX(k+1),余りをA(k)とする。
(3)X(k+1)≠0であればkの値を1増やし(2)に戻る。X(k+1)=0であれば(4)に進む。
(4)Xの十進表記は
X=Σ[m:0～k]A(m)*10^m
となります。

要するにn進数であらわすには、nで割り余りを得る、商をさらにnで割余りを得る、これを繰り返せばよいのです。

misawajp · Answer

＞(1)６３＝１・２＾５＋１・２＾４＋１・２＾３＋１・２＾１＋１と変形できるので２進法では１１１１１１

が間違っていることにお気づきですか

(1)６３＝１・２＾５＋１・２＾４＋１・２＾３＋1・２＾２＋１・２＾１＋１・２＾0

(2)６３＝２・５＾２＋２・５＾１＋３・５＾0

とすれば　お判りかと　
（１）は　2＾m　　で2進数
（２）は　5＾m　で5進数　　　3＾m　で表されるようにすれば3進数　　60＾mならば60進数（時間や緯度経度の分　秒）

n進数Xは　aを0～n-1の範囲の数として　X=　a*n^m+a*n^（m-1）+a*n^（m-2）・・・+a*n^0　で表せます

f272 · Answer

(1)
63=(((((1)*2+1)*2+1)*2+1)*2+1)*2+1
(2)
63=((2)*5+2)*5+3

と変形すれば分かるか？

ｎ進法への変形の仕方についての質問です

#4のものです。

asd0pse様、こんにちわ

この回答への補足

> 私が質問したいのは６３（１０）→２２３（２）

一般では理解できても(＝理解しているつもりでも)、個別に適用できない。

n進法は「判っていると強がっていますが、理解されていません

おそらく、「途中の計算」は、次の授業で出てくると思います。

[10進数から5進数への計算]

真の意味での"n進数"が理解できていないのでしょう。

この回答への補足

＞(1)６３＝１・２＾５＋１・２＾４＋１・２＾３＋１・２＾１＋１と変形できるので２進法では１１１１１１

この回答への補足

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