数学がとても苦手で全然解法が思いつきません。
下の問題がわかる方はお願いします。
次の不定積分を求めよ。ただし、a>0とする。
(1)x^2/1+x^6 答え tan^-1x^3/3
(2)x/√4-x^4 答え sin^-1(x^2/2)/2
(3)1/cos^4x 答え tanx+tan^3/3
(4)1/√(a^2 +x^2)^3 答え x/a^2√(a^2+x^2)
(5)1/(x^2+1)^2 答え (tan^-1 x)/2+x/2(1+x^2)
(6)x^3√1-x^2 答え -(3x^2 +2)√(1-x^2)^3/15
(7)x^2 tan^-1 x 答え {2x^3 tan^-1 x -x^2+log(1+x^2)}
(8)xtan^2 x 答え xtanx-x^2/2 +log|cosx|
(9)x^2 -1/x^4 +1 答え 1/2√2 * log(x^2 -√2 x+1)/x^2 +√2 x+1)
(10)(x-1)^2/(x^2 +1)^2 答え tan^-1 x +1/x^2+1
という問題10問です。
教科書の後ろに答えだけはのっていたので、
参考にしてください。
全部じゃないけど何問かならわかるという方も
回答していただけたらと思います。
A 回答 (3件)
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No.2
- 回答日時:
例えば (1) の答に x^3 があるよね. これがどうしてでてくるのか, もとの関数と比較して考えた?
もっとも, (1) に関しては部分分数に分解できるので (これくらいはできるよね?) 強引に積分したっていい. 結果の式は (1) の答とは全然違うが, 微分してみれば確かにもとに戻ることは確認できる.
No.3
- 回答日時:
式を良く観察して、置換積分してみたらどうですか?
(1) x^3=t とおくと (tan^-1(t))'=1/(1+t^2) の公式が見えてきませんか?
(2) x^2=2t とおくと (sin^-1(t))'=1/√(1-t^2)の公式が見えてきませんか?
(3) 1/cos^4(x)={1/cos^2(x)}+{(1-cos^2(x))/cos^4(x)}
={1/cos^2(x)}+{(sin^2(x))/cos^4(x)}
=1/cos^2(x)}+(tan^2(x)){1/cos^2(x)}
と変形すれば
(tan(x))'=1/cos^2(x)の公式が見えてきませんか?
(4) (a^2 +x^2)=t と置換すると積分できませんか?
先ずはここまでやってみて下さい。
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