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- 回答日時:
確かに固有ベクトルを探すのが面倒ですね。
Aの3つの固有値の一つλ=1を使って残る二つの固有ベクトルを求めてしまいましょう。λ=1のときの固有ベクトルの一つはu=(1 1 0) ですから。(uは行ベクトルで書いていますが列ベクトルです。以下すべて列ベクトルです。)v=(a b c)とします。このvベクトルが√3の固有ベクトルとして見つけ出します。Aは対称行列ですからしかも固有値を3つ持っていますから、Av=(√3)v・・・(1)かつu・v=0・・・(2)の性質を持っています。
(1)からAv=(b+c a-b a-b+c)=(√3)(a b c)・・・(1)'
(2)からa+b=0より たとえばa=1,b=-1ととって(1)'に代入すればc=1+√3
ですからv=(1 -1 1+√3)でこれがλ=√3の固有ベクトルの一つです。
まったく同じ手法でλ=-√3のとき固有ベクトルが(1 -1 1-√3)と求まりますから、
(1 1 1) (1 1 1)(1 0 0)
A(1 -1 -1) = (1 -1 -1)(0 √3 0)
(0 1+√3 1-√3) (0 1+√3 1-√3)(0 0 -√3)
と書けそうですね
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