電磁気学の問題についてです。

私は大学で物理を学んでいる二年生です。電磁気学でわからないところがあって質問させていただきます。アーンショーの定理なんですがその中にひとつです。
「任意の電場の中に電荷をおいた場合、それが静電場である限りは静止している事はできない」
これを証明する問題なんですが安定でない事を証明するにはどうしたらいいのでしょうか？
どうかヒントをよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/12/23 12:41

ヒントを以下に簡単に書いておきます。

（１）電荷のない空間（電場が存在しないことではないですよ。ρ＝０でいわゆる湧き出しがないことですね）は、のっぺらぼ－でポテンシャルの極値を示す点が存在しないということがEarnshowの定理の中核ですね。これは、次ぎのようにして証明できます。
電荷のない空間のある点でポテンシャルが極大または極小となれば、その点の近傍に描いた閉曲面上ではポテンシャルの勾配（∇Φ）は負または正の定符号を取らねばなりません（※）。それにつられて電場の法線成分Ｅnも正または負の定符号をとります（→定符号をとるということは０ではないということです。Ｅ＝－∇Φ）。すると電場の閉曲面上の積分は∫∫EndS≠0となり、ガウスの定理からその閉曲面内部に電荷が存在することになりますが、これは空間電荷が存在しないという前提と明らかに矛盾しますね。
(※)ラプラスの方程式（ポアソンの方程式でρ＝０としたやつ）∇^2Φ＝０で、閉曲面上で∂Φ/∂ｎが与えられたときポテンシャルΦは付加定数を除いて一意的に決まるという一意性の定理を参照してください。

（２）Earnshowの定理は電荷分布の作る一様な電場中に電荷を置いてもそれが安定な平衡状態（じっと静止している）になることはない、つまり電荷は静電力だけで安定な釣り合いを保つことはできない、というものですね。
正電荷を（負電荷で形成された）静電場に置いたとき、置いた正電荷以外ら生じた静電ポテンシャルが極小の点で安定的な釣り合いを保つことができます。同様に負電荷が安定な釣り合いを保つにはポテンシャルの極大点が必要(※)になります。しかし、これは（１）で調べた一様な電場の中にはポテンシャルの極値を示す点が存在しないことより不可能となりますね。
(※)イメージ的には負電荷同士は反発するのでポテンシャルの極大点がこの場合の安定位置となる。

この回答へのお礼

ヒントと解説ありがとうございます。
一つ質問なのですが、

＞正電荷を（負電荷で形成された）静電場に置いたと＞き、置いた正電荷以外ら生じた静電ポテンシャルが＞極小の点で安定的な釣り合いを保つことができます

とありました。
「安定の状態が静電ポテンシャルの極小（極大）の点」というのはどこから来るのでしょうか？何かの定理から来るのでしょうか？教えてもらえますか？

お礼日時：2003/12/25 02:15

No.5 回答者： Teleskope 回答日時： 2003/12/26 00:07

(^∀^)　No4氏の件はこれですな！たしかに鉄球が静磁場＋静重力場で静止してる。

驚きました。
http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20031224-00000 …

No.4 回答者： apple-man 回答日時： 2003/12/25 10:42

補足要求です

この質問は、アーンショーの定理
を覆したのでは？と言われている
盛岡の高校生の
実験と関連してのものですか？

No.3 回答者： KENZOU 回答日時： 2003/12/25 10:25

＞「安定の状態が静電ポテンシャルの極小（極大）の点」というのはどこから来るのでしょうか？何かの定理から来るのでしょうか？教えてもらえますか？

安定な状態は力が釣りあった平衡点のことを意味します。つまり安定な状態にある電荷を少し動かすと元のの位置に戻ろうとする力が働きますね。この点がポテンシャルの極値を与える点ということになる訳です。この辺りのイメージはココ↓を参照してください。
http://nkiso.u-tokai.ac.jp/phys/matsuura/lecture …
また、ポテンシャル一般の話は
http://dir.itc.u-tokyo.ac.jp/~okabe/tex/elemag/n …
を参照してみてください。
電磁気学の講義テキスト（計算プロセスが詳しい）は参考ＵＲＬを参照してみてください。
いろいろ挙げましたが頑張ってください。

参考URL：http://kotone.dyndns.org/testprint/TeX/phe.pdf

No.1 回答者： noname#108554 回答日時： 2003/12/23 09:19

参考URLの3番目に方針というか証明が出ています。

参考URL：http://search.yahoo.co.jp/bin/query?p=%a5%a2%a1% …

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。　
ですが安定性の証明は無かったようです。
ありがとうございました。

お礼日時：2003/12/25 01:42