有限マクローリン展開

マクローリン展開について次の問題がわからないので教えてください。

次の関数の有限マクローリン展開を、ｎ=4のときに書き表せ。

(1)sinx
(2)√(1+x)
(3)xsinx
(4)x/(1+x)

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/05/11 09:33

>次の問題がわからないので教えてください。

展開公式
f(x)=f(0)+f'(0)x+f''(0)x^2/2! +f'''(0)x^3/3! +f''''(0)x^4/4 + ...
を計算するだけ。
分からないのではなく、やらないでやってもらおうというだけではないですか？
ちゃんと４階までの微分係数を計算しx=0と置いて展開公式に代入するだけ。
なのに何が分からないのでしょうか？
やり方も教科書に載ってると思います。

(1)
sin(x)=x-x^3/6+...

(2)
√(1+x)=(1+x)^(1/2)=1+x/2-x^2/8+x^3/16-5x^4/128+...

(3)
(1)の両辺にxを掛けて
xsin(x)=x^2-x^4/6+...

(4)
x/(1+x)=1-1/(1+x)=1-(x+1)^(-1)　なので
(x+1)^(-1)=1-x+x^2-x^3+x^4+...
x/(1+x)=1-(x+1)^(-1)=x-x^2+x^3-x^4+...

丸写ししないで
f(0),f'(0),f''(0),f'''(0),f''''(0)を計算して上の展開式になることを確認してください。
そうしないとマクローリン展開が身につかないと思います。