logを分数で近似

Question

log_2 3を、0.00001以下の誤差で表される分数(aとbを整数として、a/bと表される)で書き表したいのですが、どなたか方法と過程を示していただけないでしょうか？

ramayana · Accepted Answer

ANo.8の添付図を拡大しました。

f272 · Answer

エクセルVBAで求めてみた。
Sub log2_3()
n = 10
ReDim a(0 To n), c(1 To n), p(-1 To n), q(-1 To n), e(1 To n)
p(-1) = 0
q(-1) = 1
a(0) = Log(3) / Log(2)
p(0) = 1
q(0) = 0
For i = 1 To n
c(i) = Int(a(i - 1))
a(i) = 1 / (a(i - 1) - c(i))
p(i) = c(i) * p(i - 1) + p(i - 2)
q(i) = c(i) * q(i - 1) + q(i - 2)
e(i) = p(i) / q(i) - a(0)
Next i
Range("a1").Resize(n + 2) = WorksheetFunction.Transpose(p)
Range("b1").Resize(n + 2) = WorksheetFunction.Transpose(q)
Range("c3").Resize(n) = WorksheetFunction.Transpose(e)
End Sub
    
A列が分母，B列が分子，C列が誤差
_____0_________1
_____1_________0
_____1_________1______-0.584962501
_____2_________1______0.415037499
_____3_________2______-0.084962501
_____8_________5______0.015037499
____19________12______-0.001629167
____65________41______0.000403353
___84________53______-5.68403E-05
__485_______306______4.81954E-06
_1054_______665______-9.47061E-08
24727_____15601______1.68254E-09

ta20000005 · Answer

alice_44さんの回答を見て、音律を決める時に使う
(3/2)^12≒2^7
は使えないかなと試してみました。
3^12≒2^19より
log[2](3)≒19/12≒1.5833
ちょっと誤差が大きいですね。
なら、53音平均律を導く関係
(3/2)^53≒2^31
ならどうか？
3^53≒2^84より
log[2](3)≒84/53≒1.584905
惜しい！精度は一桁足りずです。
というわけで失敗ではありますが、音楽理論から結構いい近似が求まるのは自分には面白かったです。

ramayana · Answer

ややこしいと言えばややこしいかもしれませんね。

ちなみに、最初の5項の計算の実例を示します。なお、ANo.6で３桁程度の数字の計算と言ったのは、言い過ぎでした。もう少し大きい桁の計算も出てきそうです。

alice_44 · Answer

代入計算は、連分数展開のほうが簡潔だが、
展開式を得る過程は、冪級数よりややこしいのでは？

ramayana · Answer

「連分数展開」というのを使う方法もあります。ひたすら逆数の計算と引き算をするだけなので、高校生でも十分理解できると思います。インターネットで検索すれば、どこかに載っているでしょう。利点は、次の２つ。

１　マクローリン展開より計算量が少ない。

２　誤差は、特段の計算をしなくても、結果からすぐ分かる。

（誤差は、分母の２乗の逆数より小さい⇒分母が318（10万の平方根）より大きくなるまで計算すれば、誤差は0.00001以下になる。

log_2 3を0.00001以下の誤差で表すなら、最初の8項ぐらい計算すればよいでしょう。せいぜい3桁程度の数字の割り算と引き算を繰り返すことになります。

alice_44 · Answer

難しげな話は拔きで、高校生っぽい道具と根性だけで解決しよう
というのなら、飛びっきりの根性が必要になります。
log_2 3 ≒ p/q ⇔ 2^p ≒ 3^q だから、
2^8 = 256 ≒ 243 = 3^5 あたりから出発して、試行錯誤しながら
2^p ≒ 3^q となる p,q の桁数を上げてゆく手はある。
2^8 > 3^5 だけれども、2^80 ≒ 3^50 を改善するにあたって
2^79 ≒ 3^50 と 2^80 ≒ 3^51 ではどちらがよいか？とか。
ともかく山程計算すれば、p/q < log_2 3 < r/s かつ
r/s - p/q < 0.00001 となる p,q,r,s を見つけることが
できるかもしれないし、途中でやんなって終るかもしれない。

どうせ根性を発揮するのなら、計算に燃えるよりも
勉強に熱意を使って、log の級数近似くらい理解するように
なるほうが、前向きでよいような気はしますね。

zeta0208 · Answer

詳細は『テイラー展開』『マクローリン展開』にて調べてください。

概略のみ示します。
log[e](1+x)は xがZero に近い時 マクローリン展開すると
log[e](1+x)≒ (x^1)/1 - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ・・・・・
となります。
これを利用すれば代数的な計算で求まります。

上記の式を
log[e]{(1+x)/(1-x)}
＝log[e](1+x) - log[e](1+(-x))
＝2{(x^1)/1 + (x^3)/3 + (x^5)/5 + ・・・・・}
として、この式を利用する。

まず
Zeroに近い数としてx=1/3とすると
log[e]2
＝ log[e]{(1+1/3)/(1-1/3)}
＝ 2{1/3 + ((1/3)^3)/3  + ((1/3)^5)/5 + ・・・・・}

Zeroに近い数としてx=1/2とすると
log[e]3
＝ log[e]{(1+1/2)/(1-1/2)}
＝ 2{1/2 + ((1/2)^3)/3  + ((1/2)^5)/5 + ・・・・・}

つまり
log[2]3
＝ log[e]3/log[e]2
＝ {1/2 + ((1/2)^3)/3  + ((1/2)^5)/5 + ・・・・・}/{1/3 + ((1/3)^3)/3  + ((1/3)^5)/5 + ・・・・・}
求める桁との誤差がなくなるところで項を足すのを打ち切れば近似が求まります。

※
log[2]3=1.58496として

１項で求めると
≒{1/2}/{1/3}＝3/2＝1.5
２項目で求めると
≒{1/2 + ((1/2)^3)/3}/{1/3 + ((1/3)^3)/3}＝1.56696
３項目で求めると
≒{1/2 + ((1/2)^3)/3 + ((1/2)^5)/5}/{1/3 + ((1/3)^3)/3 + ((1/3)^5)/5}＝1.58182
４項目で求めると
≒{1/2 + ((1/2)^3)/3 + ((1/2)^5)/ + ((1/2)^7)/7}/{1/3 + ((1/3)^3)/3 + ((1/3)^5)/5 + ((1/3)^7)/7}＝1.58420

と誤差が少なくなっていくことが判るかと思います。

Tacosan · Answer

「高校生レベルで手計算でできそうだと感じている」という根拠は何?

「超越数を有理数で近似する」だけでもものによっては非常に難しい (というか「ただの作業」) し, さらに誤差評価まで入れると本気でめんどくさいことになるんだけどなぁ.

いや, 「高校生レベルの計算」でできるのは間違いないんだよ. 手計算する気にならないだけで.

FT56F001 · Answer

数値的に探すと，
485/306
誤差は4.82×10^(-6)

Private Sub Command1_Click()
g = 9999
n = 0
X0 = Log(3) / Log(2)
While g > 0.00001
　n = n + 1
　m = Int(X0 * n + 0.5)
　g = Abs(X0 - m / n)
Wend
Print m, n
End Sub

logを分数で近似

ANo.8の添付図を拡大しました。

エクセルVBAで求めてみた。

alice_44さんの回答を見て、音律を決める時に使う

ややこしいと言えばややこしいかもしれませんね。

代入計算は、連分数展開のほうが簡潔だが、

「連分数展開」というのを使う方法もあります。

難しげな話は拔きで、高校生っぽい道具と根性だけで解決しよう

詳細は『テイラー展開』『マクローリン展開』にて調べてください。

「高校生レベルで手計算でできそうだと感じている」という根拠は何?

数値的に探すと，

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