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質問させていただきます。

平方数と平方数を足すと、ある数になります。
例えば、3の平方と4の平方で25になります。

25は、他の平方の和になることはありません。
ここでは、0は無視します。

そうして、複数の平方の和に分解される最小の数は
50であることがわかります。
1の平方と7の平方、5の平方と5の平方。

その次は、65です。
その次は、85です。
その次は、125です。

このように、5の倍数が続きます。
しかし、221は5の倍数ではないですが、
5の平方と14の平方、10の平方と11の平方。

それでも、5の倍数が85%にまで及びます。
まだ計算が足りないのかもしれません。
20×20程度しか計算していません。

平方数の和に関して考えると、
平方数は、一ケタ目は、1、4、9、6、5、6、9、4、0となり、
その和を計算すると、
5の倍数つまり、1ケタ目が0か5になるのは、35%くらいになります。

円周率をランダムと考えて、0~4(40%)を一つの数エックスとしてみました。
35%に近づけるためです。

そして、複数の平方数の和になる場合を考えました。
しかしエックスは85%には遠く及ばず、
50%くらいで終わりました。

何か規則性のようなものが隠れていると思います。
でも、単なる偶然かもしれません。

参考図書などあれば、よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

Ano.1の「」内が間違っていました。

次のように修正してください。


「整数nが互いに素な2つの平方数の和に分解できるためには、nが0個又は1個の2と、mod 4 で1になる素数との、積に因数分解できることが必要十分条件である。また、mod 4 で1になる素数がk個含まれるとすると、分解の仕方は、2^(k-1)通りである。」
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挙げられた数字を因数分解すると、次のようになります。



50 = 2×5^2
65 = 5×13
85 = 5×17
125 = 5^3
221 = 13×17

5が多いこと以外になにか気づきませんか。2以外の素因数は、すべて4で割って1余る数字です。

一般に次のことが分かっています。

「整数nが互いに素な複数の2つの平方数の和に分解できるためには、nが0又は1個の2と、mod 4 で1になる素数との、積に因数分解できることが必要十分条件である。また、mod 4 で1になる素数がk個含まれるとすると、分解の仕方は、k-1通りである。」

挙げられた数字に5の倍数が多いのは、5が、mod 4 で1になる一番小さい素数だからです。

次の文献が参考になります。
http://www.amazon.co.jp/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95 …
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

mod4が関わっていることを知って納得です。

お礼日時:2012/07/08 08:24

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