二つの平方数の和について少し

質問させていただきます。

平方数と平方数を足すと、ある数になります。
例えば、３の平方と４の平方で２５になります。

２５は、他の平方の和になることはありません。
ここでは、０は無視します。

そうして、複数の平方の和に分解される最小の数は
５０であることがわかります。
１の平方と７の平方、５の平方と５の平方。

その次は、６５です。
その次は、８５です。
その次は、１２５です。

このように、５の倍数が続きます。
しかし、２２１は５の倍数ではないですが、
５の平方と１４の平方、１０の平方と１１の平方。

それでも、５の倍数が８５％にまで及びます。
まだ計算が足りないのかもしれません。
２０×２０程度しか計算していません。

平方数の和に関して考えると、
平方数は、一ケタ目は、１、４、９、６、５、６、９、４、０となり、
その和を計算すると、
５の倍数つまり、１ケタ目が０か５になるのは、３５％くらいになります。

円周率をランダムと考えて、０～４（４０％）を一つの数エックスとしてみました。
３５％に近づけるためです。

そして、複数の平方数の和になる場合を考えました。
しかしエックスは８５％には遠く及ばず、
５０％くらいで終わりました。

何か規則性のようなものが隠れていると思います。
でも、単なる偶然かもしれません。

参考図書などあれば、よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： ramayana 回答日時： 2012/07/07 22:05

Ano.1の「」内が間違っていました。

次のように修正してください。


「整数nが互いに素な２つの平方数の和に分解できるためには、nが0個又は1個の2と、mod 4 で1になる素数との、積に因数分解できることが必要十分条件である。また、mod 4 で1になる素数がk個含まれるとすると、分解の仕方は、2^(k-1)通りである。」

No.1 回答者： ramayana 回答日時： 2012/07/07 21:57

挙げられた数字を因数分解すると、次のようになります。

50 = 2×5^2
65 = 5×13
85 = 5×17
125 = 5^3
221 = 13×17

5が多いこと以外になにか気づきませんか。2以外の素因数は、すべて4で割って1余る数字です。

一般に次のことが分かっています。

「整数nが互いに素な複数の２つの平方数の和に分解できるためには、nが0又は1個の2と、mod 4 で1になる素数との、積に因数分解できることが必要十分条件である。また、mod 4 で1になる素数がk個含まれるとすると、分解の仕方は、k-1通りである。」

挙げられた数字に5の倍数が多いのは、5が、mod 4 で1になる一番小さい素数だからです。

次の文献が参考になります。
http://www.amazon.co.jp/%E5%88%9D%E7%AD%89%E6%95 …

この回答へのお礼

ありがとうございます。

mod4が関わっていることを知って納得です。

お礼日時：2012/07/08 08:24