x軸から切り取る線分の長さの問題です。

Question

問題）放物線ｙ＝－ｘ＾２＋ｘ＋ａ－３がｘ軸から切り取る線分の長さが３であるとき、定数ａの値を求めよ。
模範解答）－ｘ＾２＋ｘ＋ａ－３＝０．．．(1)とおく。
この方程式の判別式をＤとすると、Ｄ＞０である。
これを解いてａ＞１１／４
(1)より解の公式を使ってｘ＝（１＋√４ａ－１１）／２，（１－√４ａ－１１）／２
切り取る線分の長さが３より
左の解ー右の解＝３
√４ａ－１１＝３
４ａ－１１＝９よりａ＝５
これは(2)をみたす
よってａ＝５
質問）線分の長さを３として計算すれば最初に判別式＞０を計算しなくてもその後の計算だけで解答を導きだせるように思いますがなぜ判別式Ｄ＞０が最初に必要なのでしょうか？よろしくお願いします。

alice_44 · Accepted Answer

交点が存在しない場合には、(1)の解は虚数になるが、
その虚数を使って強引に「切り取る長さ」を求めた場合に、
二乗で虚数が消えて上手く長さ３になってしまわないか？
そこから来る a の不適解を答えに入れてしまうことはないか？
という不安が残る。もしかしたら、結果的には A No.4 の
言うとおりなのかも知れないが、そのことを検証しておく
必要はあるのだと思う。そのために、D>0 を計算する。
最初にやっても、最後にやっても、構わないが。

mister_moonlight · Answer

＞線分の長さを３として計算すれば最初に判別式＞０を計算しなくてもその後の計算だけで解答を導きだせるように思いますがなぜ判別式Ｄ＞０が最初に必要なのでしょうか

判別式＞0という事は、x軸と異なる2つの交点を持つ事を意味している。
判別式＜0なら　交点を持つことはないから　この問題はそれから先に進めない。
従って、同じ事が後から出てくるから良い、ということではなく　判別式＞0であることが前提だから　最初に示さなければならない。
結果が同じだから良い、ということにはならない。

尚、この模範解答は　下手な方法。とても　模範解答といえる代物ではない。

先ず、判別式＞0を示しておく。
x軸との2つの交点をα、β(α＞β)とする。
条件から、α-β＝3.両辺は正から2乗しても同値。
(α-β)＾2＝(α＋β)＾2-4αβ＝9　‥‥(1).　これに解と係数から　α＋β＝1、αβ＝3-a を(1)に代入すると、a＝5.
これは　確かにa＞0を満たすから、求める解。

MagicianKuma · Answer

この問題の場合は不要と思う。左の解ー右の解＝３　こうおいた時点で実数解があるならという前提で計算がなされており、aが求まった時点でD>0は成立していると思うのは私だけ?

ferien · Answer

「√４ａ－１１」が実数であることを表すためには、Ｄ＝４ａ－１１＞０をことわっておく
必要があるからだと思います。
Ｄ＝０だと、√４ａ－１１＝０で重解になり、切り取る線分の長さが０になってしまうから、Ｄ＞０
４ａ－１１＜０と考えると、√４ａ－１１は実数でなくなってしまいます。

asuncion · Answer

計算で求めたa=5が、問題に対する答えとして矛盾していないかどうかを
判断するための条件として、必須です。

全く別の例を出しますと、何かの長さを求める、という問題があったとして、
2次方程式か何かを立てて計算した結果が正と負の値だったとします。
このとき、「何かの長さだから正である」という前提によって
正の値を答えとするわけで、計算で求めた正と負の値を
そのまま答えとして書くと減点される、というのとほぼ同じです。

aries_1 · Answer

求まったａを元のグラフに代入したとき、それがx軸と接していたりx軸よりも上側にあるとx軸から切り取る長さが存在しません。
これを否定するためにD＞0を満たす範囲にaが入っていることを確認する必要があります。

x軸から切り取る線分の長さの問題です。

交点が存在しない場合には、(1)の解は虚数になるが、

＞線分の長さを３として計算すれば最初に判別式＞０を計算しなくてもその後の計算だけで解答を導きだせるように思いますがなぜ判別式Ｄ＞０が最初に必要なのでしょうか

この問題の場合は不要と思う。

「√４ａ－１１」が実数であることを表すためには、Ｄ＝４ａ－１１＞０をことわっておく

計算で求めたa=5が、問題に対する答えとして矛盾していないかどうかを

求まったａを元のグラフに代入したとき、それがx軸と接していたりx軸よりも上側にあるとx軸から切り取る長さが存在しません。

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