![](http://oshiete.xgoo.jp/images/v2/pc/qa/question_title.png?e8efa67b6d)
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
y=x^3+ax^2+bx+cを微分すると
y'=3x^2+2ax+b
よってx=1における接線の傾きは
y'=3+2a+b
y=-x^2+x+1を微分すると
y'=-2x+1
よってx=1における接線の傾きは
y'=-1
x=1において共通な接線を持つから、傾きが等しいことより
3+2a+b=-1
∴b=-2a-4
また、曲線Cは点(1,1)を通るから
x=1,y=1をy=x^3+ax^2+bx+cに代入して、
1=1+a+b+c
c=-a-b
=-a-(-2a-4)=a+4(∵b=-2a-4)
∴c=a+4
よって(アイ)=-2、(ウ)=4、(エ)=4となる。
次に、接線の方程式を求めておく。
y'=-1,点(1,1)を通ることより、
y-1=-(x-1)
y=-x+2
この接線と曲線Cの共有点の座標は、
接線と曲線Cの連立方程式の解と等しいから、
2式からyを消去して
x^3+ax^2+bx+c=-x+2
x^3+ax^2+(-2a-4)x+a+4=-x+2
x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2=0
接線と曲線Cとの共有点がx=1しか持たないということは、
このxに関する方程式の解がx=1しか持たないということと同等である。
左辺をy=と置いて3次関数で考える。
y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2
y=0のときの解がx=1のみということは、
上記3次関数とx軸との交点がx=1のみであることと同等である。
3次関数y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2がx軸といくつ交点を持つか調べるために微分すると
y'=3x^2+2ax+(-2a-3)
ここでx=1を代入すると、y'=3+2a+(-2a-3)=0、すなわち
y'=0の解のひとつがx=1となることがわかる。
ここでもしy'=0の解がx=1以外にももう一つあると考えると、
y'=0の実数解が2個出てきて、もとの3次関数が極値を2つ持つことになる。
そしてx=1のときy'=0なので、x=1が極小値、または極大値になる。
また、x=1のときのy=0になるので、(1,0)が極値となるから、3次関数とx軸の交点は2個
持つこととなり(←簡単なグラフを書いてみるとわかります)、題意に反する。
よって、3次関数y=x^3+ax^2+(-2a-3)x+a+2とx軸との交点がx=1のみであるという条件は、
y'=3x^2+2ax+(-2a-3)=0
の判別式D/4=a^2-3(-2a-3)=0であるということができる。(←3次関数が極値を持たない条件、
すなわち3次関数が単調増加関数となり、x軸との交点が1個となる条件。D/4>0のときは
異なる実数解が2つとなり、上記で説明したように題意に反する。またD/4<0も極値を持たない
条件ではあるが、この問題の場合ありえない。なぜなら、上記の説明にもあるように
y'=0の一つの解は実数解x=1であるとわかっているから)
これを整理し解くと、(a+3)^2=0
∴a=-3
これをb=-2a-4,c=a+4に代入して、
∴b=2,c=1
よって(オカ)=-3、(キ)=2、(ク)=1
ちょっと説明がまどろっこしかったですかね?
答案はもっとシンプルに書けばよいです。
追伸)答えを出すだけなら、a,b,cの値が整数のようなので判別式=0から一気に出せば
よいのかも?
ただ、いろいろな応用題を解く上では一つ一つの論理展開を丁寧に考えるクセを普段から
つけておくのがよいと思います。
No.1
- 回答日時:
放物線y=-x^2+x+1の点(1,1)における接線の方程式を求める。
y'=-2x+1より、点(1,1)における接線の傾きは-2である。また、接線は点(1,1)を通るから、
y-1=-2(x-1)より、点(1,1)における接線の方程式は、y=-2x+3である。
曲線C:y=x^3+ax^2+bx+c
y'=3x^2+2ax+bより、点(1,1)における接線の傾きは2a+b+3である。
これが-2であることから、2a+b+3=-2より、b=-2a-5
アイ:-2, ウ:5
曲線C:y=x^3+ax^2-(2a+5)x+cと書ける。これが点(1,1)を通るから、
1=1+a-(2a+5)+cより、c=a+5
エ:5
曲線C:y=x^3+ax^2-(2a+5)x+a+5と書ける。これが、y=-2x+3と点(1,1)以外の
共有点を持たないことから、
x^3+ax^2-(2a+5)x+a+5=-2x+3より
x^3+ax^2-(2a+3)x+a+2=0はx=1で重解を持つ。よって、
x^3+ax^2-(2a+3)x+a+2は(x-1)^2、つまりx^2-2x+1で割りきれる。
x^3+ax^2-(2a+3)x+a+2=(x-1)^2・(x+a+2)
よって、-a-2=0より、a=-2, b=-1, c=3
オカ:-2
キ:-1 → ここは計算間違いかも
ク:3
まあ、後はご自分で計算してみてください。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・【あるあるbot連動企画】あるあるbotに投稿したけど採用されなかったあるある募集
- ・【あるあるbot連動企画】フォロワー20万人のアカウントであなたのあるあるを披露してみませんか?
- ・映画のエンドロール観る派?観ない派?
- ・海外旅行から帰ってきたら、まず何を食べる?
- ・誕生日にもらった意外なもの
- ・天使と悪魔選手権
- ・ちょっと先の未来クイズ第2問
- ・【大喜利】【投稿~9/7】 ロボットの住む世界で流行ってる罰ゲームとは?
- ・推しミネラルウォーターはありますか?
- ・都道府県穴埋めゲーム
- ・この人頭いいなと思ったエピソード
- ・準・究極の選択
- ・ゆるやかでぃべーと タイムマシンを破壊すべきか。
- ・「I love you」 をかっこよく翻訳してみてください
- ・歩いた自慢大会
- ・許せない心理テスト
- ・字面がカッコいい英単語
- ・昔のあなたへのアドバイス
- ・かっこよく答えてください!!
- ・あなたが好きな本屋さんを教えてください
- ・これ何て呼びますか Part2
- ・人生で一番思い出に残ってる靴
- ・ゆるやかでぃべーと すべての高校生はアルバイトをするべきだ。
- ・初めて自分の家と他人の家が違う、と意識した時
- ・単二電池
- ・チョコミントアイス
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
曲線と点の最短距離の出し方
-
x=tan(x)この方程式を解く方法...
-
常にf’’(x)>0とf’'(x)=0...
-
直線の通過範囲
-
2つの放物線 f(x)=x²、g(x)=ーx²...
-
数IIIの放物線の問題です
-
放物線と接線(数C)
-
円と放物線の共通接線が直交す...
-
教えてください! 解答の過程も...
-
数2 円と直線 点(1.2)を通り...
-
エクセル2007曲線の接線と傾き...
-
傾きが同じって
-
円の外の点から円に2本接線を引...
-
わかりません。 pを2以上の整数...
-
数学の微分積分の問題がわかり...
-
傾きが同じ?
-
微分の問題なのですが・・・
-
微分の接線についての問題です
-
高校数学での接線についての質...
-
3次関数と、直線が変曲点で接す...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
常にf’’(x)>0とf’'(x)=0...
-
大変!!またまた我が家の新築...
-
曲線と点の最短距離の出し方
-
理解しがたい部分があります。...
-
傾きが同じ?
-
【数学】 接点が異なれば、接線...
-
数学の問題
-
エクセル2007曲線の接線と傾き...
-
Excelでこの直線と曲線が離れ出...
-
3次関数と、直線が変曲点で接す...
-
傾きが同じって
-
高校数学での接線についての質...
-
直線の通過範囲
-
y=e^xに対して点(0、a)から...
-
軌跡についての質問です
-
円の接線はなぜ接点を通る半径...
-
円の接線
-
微分方程式の問題です
-
「接する」の厳密な定義とは?
-
y=x^3 の(0,0)における接線は
おすすめ情報