－1×－1はなぜ１なのでしょうか

1×1は１が１つあるという考えで１と納得できますが、
－1×－1は－1が-１つという考えだと-2でないとおかしいと思います

自分でもなにを言っているか分かりませんが、わかる方がいましたら教えてくださいお願いします

No.1 ベストアンサー 回答者： Gouki_Shibukawa 回答日時： 2012/08/26 16:20

数直線をイメージしましょう。

掛け算でＸプラスというのは、方向（符号）がそのまま
ということです。逆に掛け算でＸマイナスというのは、今までと反対方向になると言う
事です。マイナスならばプラスに。そんな感じです。

だから、マイナスが複数回だとプラスになるのです。

No.12 回答者： okormazd 回答日時： 2012/08/27 16:30

#7です。

#7で、1.と2.の順序が逆でしたね。

1.
0の定義、

2.
負の数の定義

の順序じゃないと具合が悪い。

No.11 回答者： cozycube1 回答日時： 2012/08/27 10:36

　いろいろな考え方があると思います。

確かに、-1個って分かりにくいです。0より少ない-1という数が、さらに-1個であれば、もっとマイナスになりそうな感じがします。

　たとえば、-1×2＝-2, -1×1＝-1,-1×0＝0と、-1に掛ける数を1ずつ減らしていくと、答は1ずつ増えて行きます。0から1減らすと-1ですが、答が1ずつ増えて行くという規則性を壊さないなら、-1×-1＝1としたくなります。

　あるいは、-1×-1×-1と三つの-1を掛けたとき、どうするかといったことですね。1を掛けても同じ数ですが、-1を掛けると正負が変わるとしておくと、-1×1＝-1であることからの簡単な拡張として、-1×-1＝1としたくなります。
　そうしておけば、-1×-1×-1＝(-1×-1)×-1＝1×-1＝-1ということも、すんなり出てきます。ついでに、「-1が偶数個ならプラス、奇数個ならマイナス」と単純に考えることもできます。

　もし、-1×-1＝-2や-1×-1＝-1とするのであれば、自然数での掛け算のやり方を、整数の負の数では変えなければなりません。そうしてはいけないわけではないですが、数学は矛盾が出ないように作られています。

　数学が数学自身の無矛盾や完全性を証明できないとはされていますが、少なくとも分かっている範囲で矛盾が出てはいけません。それには定義の厳密性が必要です。

　掛け算は扱う数が、自然数→整数→有理数→実数→複素数と拡張されていきます。ご質問の場合、自然数→整数と拡張した場合の問題になりますが、整数で新たに出てきた負の数について、できるだけ自然数での掛け算の定義を使って、しかも次の有理数以降でも無理や無用な煩雑性が出てこないように定義して行く必要があります。そのための工夫が、-1×1＝-1, -1×-1＝1であったりするわけです。

No.10 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/08/27 07:05

No.9 さんとは異なり

＞自分でもなにを言っているか分かりませんが

って、感覚を大事になさってください。

ところで　－１個　って　無定義　ですが、どうして　それで　－２になるのですか？

No.9 回答者： shitumon631 回答日時： 2012/08/27 02:11

みなさんがいうように、深く考えない方がいいです。

借金（マイナス）が　何個もへらして　プラスになった、みたいなな感じでしょう。

No.8 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/08/27 01:09

-1 の定義は　1+(-1)=0 から　来てます。

0*0=0　だから

(1+(-1))(1+(-1))=0　

展開して

1 + 1*(-1) + (-1)*1 + (-1)(-1) =0

1*(-1)=-1 （これは１の定義からでる）　　だから

1+(-1)+(-1)+(-1)(-1)=0

よって　(-1)+(-1)(-1)=0

両辺に１を足すと

1+(-1)+(-1)(-1)=1

よって

(-1)(-1)=1

No.7 回答者： okormazd 回答日時： 2012/08/27 00:48

そう決めると便利だし、数学的に整合性が取れるからというのが簡単な答えです。

数学的に少し厳密(といってもちょっといい加減)に考えると難しい話になりますが、いいでしょうか。

1.
負数の定義
正の数に足したら0になるような数を負の数とする。
aを正数とすると、
a+x=0
が成り立つとき、xは負の数で、x=-aと書く。すなわち、a+(-a)=0・・・・(1)

2.
0の定義
ある数を足してももとの数と変わらないような数を0とする。
足す数をeとすると、
x+e=x
なら、e=0である。すなわち、x+0=x・・・・(2)

3.
0+0=0である。・・・・(3)
(2)で、x=0とすれば導かれる。

4.
0×b=0である。・・・・(4)
(3)の両辺にbを掛けると、
(0+0)×b=0×b
0×b+0×b=0×b
0×b=xとおけば、x+x=xで、
(2)、(3)から、x=0すなわち、0×b=0

5.
(-a)×b=-(a×b)である。・・・・(5)
(1)の両辺にbを掛けると、
{a+(-a)}×b=0×b
a×b+(-a)×b=0×b
(4)から、a×b+(-a)×b=0
よって、(1)から、(-a)×b=-(a×b)

6.
(-a)×(-b)=a×bである。
(1)の両辺に-bを掛けると、
{a+(-a)}×(-b)=0×(-b)
(5)、(4)から、
a×(-b)+(-a)×(-b)=-(0×b)=-0=0
(5)から、
-(a×b)+(-a)×(-b)=0
よって、(1)から、(-a)×(-b)=a×b

7.
a=1、b=1とすれば、
(-1)×(-1)=1×1=1
ですね。

分配法則、交換法則など成り立つことを前提にしているんだけどね。
数学的には大体以上のような議論で説明するのだろうが、こんな説明を見ても理解しにくいでしょう。だから、はじめに書いたようなことになるし、他の回答者もそのような回答でしょう。

No.6 回答者： dormitory 回答日時： 2012/08/26 20:32

あまり深く考えずに「そう定めたのだ」と思った方が何かと気が楽な気もします。

物の貸借りで正負の考え方を説明するのは難しいですが、ある地点を中心に、東西方向に直線を引いて東に歩けば正、西に歩けば負、みたいな説明をよく見掛けるので、そういったうまい説明をご参照されたらと思います。

No.5 回答者： -Ken-Ken- 回答日時： 2012/08/26 17:36

－1×－1 の計算を考えるときは、具体的な、つまり「算数的な」考え方から抜け出さないといけません。

数学というのはとても抽象的な学問で、－1×－1 あたりが、その入門じゃないかな。

実際のところは「－1×－1は１」と決めたのです。
負の数どおしの掛け算は、1パック5個のオレンジ3パックで・・・、という問題とは全く違うものです。
だって、「1パック-5個のオレンジが-3パックで・・・」となったら、これは現実的な話ではありません。
マイナスを"不足分"と考えてもいいかもしれませんが、負の数同士の積だとかなり苦しくなります。

問題は、なぜ「－1×－1は１」と決めたのかというとこういうことです。
まず最初になぞなぞみたいな話になりますが、
-3, -2, -1, 0, □
この□に入る数字に何になると思いますか？
私は1が一番ぴったり来ると思うのですが、そうは思いませんか？

次に負の数の掛け算の話をしましょう
-1×3=-3
はいいですか？
これは-1が三つのことだから、算数的に考えやすいだろうと思います。
これを数字を変えて並べてみます。

-1×3=-3
-1×2=-2
-1×1=-1
-1×0=0
-1×-1=□

上の数列の話と同じです。□には1が入るのが一番いいように見えませんか？
このように、負の数同士の掛け算を正にすることにすれば、数学全体をとてもシンプルに記述できるのです。

#1や#2の方と同じ話を、ちょっと言葉を変えて説明してみました。

No.4 回答者： suz83238 回答日時： 2012/08/26 17:20

たとえば

（２－１）×（２－１）＝１×１＝１
これをかっこをはずして計算すれば
＝２×２＋（－１）×２＋（－１）×２＋（－１）×（－１）
＝４－２－２＋（－１）×（－１）
＝０＋（－１）×（－１）
＝（－１）×（－１）
上の式でこたえは１だから
（－１）×（－１）＝１