関数f(x)=2logx、xの定義域は？

y=2logxのグラフを描けという数学の問題。

特にxの定義域について質問があるんですが、

log(x^a)=alog(x)だから、

f(x)=2log(x)=log(x^2)といえるじゃないですか。

だから定義域はx^2=0すなわちx=0を除いた実数全体と考えまして、

y=x^2がy軸対称だから、y=2logxもy軸対称になるよう、いわば２本のグラフを描いたんです。

しかし、採点はピンになっていました。

曰く、「y=2logxが定義されるのはx>0だろう。」と。

つまりx<0に描いたグラフは、先生によると蛇足である、と。

しかし、2log(x)=log(x^2)である以上、例えばx=-10など、xの値が負の時にも二乗によって正になりますよね？

これって、どちらが正しいのでしょうか？

y=2logxのグラフは、x>0の範囲にのみ描くのでしょうか？

よろしくお願いします。

No.4 回答者： noname#163178 回答日時： 2012/10/08 15:16

ｘ＜０でも２ｌｏｇｘは定義しようと思えばできますが、実数値を取らなくなります。

実際、
２logｘ
＝２（ｌｏｇ｜ｘ｜＋ｉａｒｇｘ）
＝２（ｌｏｇ（－ｘ）＋ｉ（π＋２ｎπ））
＝２ｌｏｇ（－ｘ）＋ｉ（２π＋４ｎπ）
＝ｌｏｇ（ｘ＾２）＋ｉ（２π＋４ｎπ）
（ただしｎは整数、ｉは虚数単位）

となって、ｎがどんな値でも２logｘは実数になりません。
しかもこのとき２ｌｏｇｘ≠ｌｏｇ（ｘ＾２）です。

どのみち「y=2logxもy軸対称になるよう、いわば２本のグラフを描いたんです」は間違いです。

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/08 14:19

先生が正しいです。

2logxと書いた時点でx>0だからです。このことはlogx^2と書き直しても有効です。もし書き直した後に定義域がいきなりx≠0になってしまったら等式

2logx=logx^2

はx<0では成立しません。

定義域が変わる式変形は禁止です。

No.2 回答者： masa072 回答日時： 2012/10/08 13:48

対数の性質を確認しましょう。

M>0のとき（真数条件）、
log M^r=r*log M

よって、y=2*log xの定義域は真数条件よりx>0です。
log x^2=2*log xが成り立つのは、x>0に限られます。

y=log x^2のグラフであれば定義域はx≠0になります。

No.1 回答者： entap 回答日時： 2012/10/08 13:46

2log(x)=log(x^2)ということ自体に疑いの目を向けてみましょう。

真数条件により、(x^2)は0より大きくなければなりません。
これだけみると、x<>0ですね。
しかし、同時に、2log(x)が成立するためには、真数条件により、x>0でなければなりません。
条件として、x<0とx>0は矛盾していますね。
・..・..・
だから、矛盾している条件は切り捨てなければなりません。
ここから、x>0だけが条件になります。

(だから、ホントは、2log|x|=log(x^2)と書く方が正しいのです。x=k-5とでもおくと、この意味はたちまちわかります。)

もともと、y=log(e)x <(e)は底>がどういう意味であったか思い出してください。
正の数であるeを何乗すれば、xにたどり着くのか、という値であったはずです。
冪乗の定義からして、正の数を何回かけても・・・あるいはどれだけ平方根にしても…
決して負の数にたどり着くことはありません。よって、底が正である限り、目標であるxが
負であることは、定義としてあり得ないのです。