接平面の問題なのですが……

【問題】
　x^2/9 + y^2/4 + z^2 = 3 上の点Ｐ(-3, 2, 1)における接平面をH1とする。この時、次の問いに答えよ。
(1) H1の式を求めよ。
(2) H1に平行なもう１つの接平面H2を求めよ。

(1)は解いて、 2x - 3y - 6z +18 = 0 とできました。
しかし、(2)が解けないです。

H2の接点を(a, b, c)として、
　（2a/9, b/2, 2c） = k(-2/3, 1, 2)
　とまでは考えたのですが、 a,b,c,k の値が求まりません。

教えてください。お願いします。

No.1 回答者： entap 回答日時： 2012/12/16 21:49

法線ベクトルを利用するところまで、思いついていらっしゃるようです。

球と直線の交点を求める問題は、変数が多いので、(万能でない私達は)その変数をいかに減らすかが計算のポイントになります。

特に直線の方程式はf(x)=g(y)=h(z)となって非常に扱いにくいです。
なので、これを扱いやすく1変数に変形できる方法として「媒介変数表示」があります。
今回の場合、接点Ｐ(-3, 2, 1)について、接平面に対する法線ベクトル(-2, 3, 6)、もちろんあなたのお使いの、(-2/3, 1, 2)でも構いません…をつなげていった先、この法線が再び球とぶつかる点があります。その点を接点とした接平面を求めてあげれば良いわけです。

媒介変数表示で、x=-3-2t、y=2+3t、z=1+6tと書けますから、これを元の方程式に代入してあげれば、答えが求まります。

ところで、この計算が難題です。問題がどこかで間違っているのではないでしょうか?　(-3, 2, 1)の方はt=0と(定義からして当然に)簡単に求まりますが、もう一つの解がt=-108/68257　という値になります。当方の計算ミスなら良いのですが…
問題が間違っていないなら、ここから接点を出し、接点と法線(-2, 3, 6)から接平面の式を書きだしてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

私も、いくつか"平行"という条件をもとにいくらか計算してみましたが、信憑性の高い答えは見つかりませんでした。

明日、先生に訊いてみます。

お礼日時：2012/12/17 00:17

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/16 23:22

(1)

x^2/9 + y^2/4 + z^2 = 3
の接点(-3,2,1)における接平面H1は公式より
　-3x/9 +2y/4 +1z=3
整理すると
　-2x+3y+6z=18
　2x-3y-6x+18=0　...(★)
と求まります。

(2)
x^2/9 + y^2/4 + z^2 =3
は楕円体球曲面で原点対照なので、その接平面H1に対してH1に平行な接平面H2とH2の接点は原点対称移動すれば求まります。
接点(-3,2,1)の原点対称点は(3,-2,-1)なので接平面H2の接点は(3,-2,-1)となります。
接点が分かれば、接平面の公式からH2の敷は
　3x/9 -2y/4 -z=3
整理して
　2x-3y-6z=18
あるいは
　2x-3y-6z-18=0　...(☆)
と求まります。

別の求め方としてH1の式(★)を原点対称移動して
　2(-x)-3(-y)-6(-z)+18=0
整理して
　2x-3y-6z-18=0
と求まります。これは(☆)と一致します。

（参考）H1（ピンク平面）,H2（赤平面）を3次元プロットした図を添付します。
なお、楕円体球面（水色）と接点Aと接点Bもあわせてプロットしてあります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

図形であることを利用（？）した解法ですか……。

思いつきませんでした。

拙い言葉で恐縮ですが、ありがとうございました。

お礼日時：2012/12/17 00:20

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/16 23:25

#2です。

図の添付を忘れましたので改めて添付します。

この回答へのお礼

図までつけてくださってありがとうございます。

お礼日時：2012/12/17 00:20