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岩手県の高専生です。

素朴な疑問なのですが、複素数の形式であらわされる数には
偶数と奇数の分類があるのですか?

教えてほしいです。

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A 回答 (3件)

整数の概念を、複素数の一部にまで拡張することができて、その世界では、2で割り切れるかどうかを議論することができます。



一般に、下の式のような、整数を係数とする n 次方程式であって、X^n の係数が1のものの根も、「整数」と言うことがあります。

X^n + a[n-1]X^(n-1) + ・・・ + a[1]X + a[0] = 0
( a[n-1], …, a[1], a[0] は整数 )

このように拡張された意味の整数のことを、普通の整数と区別するために「代数的整数」とも言います。これに対し、普通の整数のことを「有理整数」とも言います。

例えば、i や 1 + 3^(1/2)i は、それぞれ X^2 + 1 = 0 と X^2 - 2X + 4 = 0 の根なので、代数的整数です。で、これらが 2 で割り切れるかというと、i/2 が整数でないので、 i は、 2 で割り切れません。一方、(1 + 3^(1/2)i )/2 が整数なので、1 + 3^(1/2)i は、2 で割り切れます。

多くの数学者が代数的整数について研究してきました。2次方程式の根で表わされる代数的整数については、ガウスが19世紀初めに詳細に調べています。その後、大いに発展し、日本人数学者も優れた業績を残しています。
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この回答へのお礼

なるほど!
厳密な解説までつけていただいてありがとうございます!

お礼日時:2013/01/14 09:59

そもそも奇数の定義は「2で割り切れない整数のこと」


なので、整数ではない数に適用できません。


それを踏まえた上で、『奇数・偶数の数学的性質に似た
複素数』 というのは、パズル的な要素で面白い命題ですね。

google で検索してみると、
『 1+i の複素整数倍になる数を複素偶数、
 それ以外を複素奇数』
とすると、奇数偶数と似たような性質が観測できるようです。

http://mikaka.org/~kana/dl/pdf/pdf-fukuso.pdf
(3ページあたりから話題が出てます)

http://www.tsuyama-ct.ac.jp/matsuda/mathexam/col …
(真ん中らへんに話題が出てます)
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!
僕はこのことについて知りたかったんです!!
助かりました!

お礼日時:2013/01/14 10:00

すでに実数ではそういう分類はできないので、ましてや複素数にはそういう分類はないです。

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この回答へのお礼

遅くなってすいません!
確かにそうですよね…
ありがとうございます!

お礼日時:2013/01/14 09:55

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Q偶数と奇数の関係と実数と虚数の関係とどこか似ていますか

偶数に1を足すと奇数になるというような日常的な経験で両者の間の関係を理解していますが、数学的にはもっと深遠なことがあるのではないかと想像します。実数と虚数はたすと複素数になりますが掛け算ではお互いが一つになるようです。群というものと関係があることかと想像しますが、数学的センスの香りだけでもかがせていただければ幸いと思います。

Aベストアンサー

質問とは少し違いますが
実数関数の偶関数部Evと奇関数部Odの関係が
複素関数の実部Reと虚部Imとの関係と密接な関係があります。
iを虚数単位として

F(s)=EvF(s)+OdF(s)
F(iw)=ReF(iw)+i*ImF(iw)

2EvF(s)=F(s)+F(-s)
2OdF(s)=F(s)-F(-s)

2ReF(iw)=F(iw)+F(-iw)
2ImF(iw)=F(iw)-F(-iw)

EvF(s)|s=iw=ReF(iw)

偶関数*偶関数=偶関数
奇関数*奇関数=偶関数
偶関数*奇関数=奇関数
(偶数*奇数=偶数,奇数*奇数=奇数との関係とは逆)

実数*実数=実数
実数*純虚数=純虚数
純虚数*純虚数=実数
など

参考)
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%81%B6%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%A8%E5%A5%87%E9%96%A2%E6%95%B0

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E6%95%B0

質問とは少し違いますが
実数関数の偶関数部Evと奇関数部Odの関係が
複素関数の実部Reと虚部Imとの関係と密接な関係があります。
iを虚数単位として

F(s)=EvF(s)+OdF(s)
F(iw)=ReF(iw)+i*ImF(iw)

2EvF(s)=F(s)+F(-s)
2OdF(s)=F(s)-F(-s)

2ReF(iw)=F(iw)+F(-iw)
2ImF(iw)=F(iw)-F(-iw)

EvF(s)|s=iw=ReF(iw)

偶関数*偶関数=偶関数
奇関数*奇関数=偶関数
偶関数*奇関数=奇関数
(偶数*奇数=偶数,奇数*奇数=奇数との関係とは逆)

実数*実数=実数
実数*純虚数=純虚数
純虚数*純虚数=実数...続きを読む

Q整数 偶数 奇数 濃度

前回の質問で、複素数と実数と虚数の濃度は同じであると教えて頂きました。
前回質問:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7248730.html#
数学的に厳密ではありませんが、理解できました。

すると、整数、偶数、奇数の濃度も同じなのではないかと考えました。
なぜなら、整数、偶数、奇数は無限集合だからです。
無限集合の定義は、その集合の真部分集合と
等濃度であることのようです。

よって、整数と偶数と奇数の濃度は等しいと考えました。

整数、偶数、奇数の濃度は等しいのでしょうか?

以上、よろしくお願い致します。

Aベストアンサー

気になるのですが,「その集合の(ある)真部分集合との間に全単射が存在する」ことが無限集合の「定義」であると言明することには,慎重であってほしいと思います(学習者,教える人,どちらの立場の人にも).

大学教養レベルの集合論の一般的な教程では,有限集合と無限集合の定義は

(i) A が有限集合 = ある自然数(0以上の整数) n について, A の濃度が n である = ある自然数(0以上の整数) n について, A と { 0, ..., n-1 } との間に全単射が存在する
(ii) A が無限集合 = A が有限集合でない

とするのがスタンダードだというのが,私の理解です.

集合 A が「A と, Aの(ある)真部分集合との間に全単射が存在する」という性質をもつとき, A はデデキント無限集合であるといいます.
デデキント無限というコンセプトは,集合論の黎明期にデデキントが無限の本質を哲学的に考察する過程で得た着想で,デデキントは「この性質こそが無限の本質ではないか」と提唱しました(藤田博司「魅了する無限」(技術評論社)に関連する話題が書かれています).
しかし,当時から現代に至るまで,数学において「デデキント無限を無限集合の規範的な定義として採用する」という合意はなされていないはずです.

公理的集合論の立場では,

-- 有限集合,無限集合の定義は上述 (i)(ii) のとおり
-- 「デデキント無限集合は無限集合である」は定理として証明できる
-- 選択公理を仮定すれば,「無限集合はデデキント無限集合である」(したがってデデキント無限は無限と同値)が定理として証明できる

という形で理解されています.
このことを理解したうえで,デデキント無限を「無限集合の定義の同値な言い換え」と説明するのは差し支えありませんが,デデキント無限を「それが無限集合の定義だ」と言い切るのは,ちょっと違うな,という印象です.

なお,選択公理を仮定しない場合,「無限集合はデデキント無限集合である」は証明できない(無限集合だがデデキント無限でない集合が存在することが起こりうる)ことが知られています.したがって,選択公理が仮定されていない文脈では,無限とデデキント無限は区別しなければなりませんし,デデキント無限を(断りなく)無限集合の定義として採用するのはまずいです.

気になるのですが,「その集合の(ある)真部分集合との間に全単射が存在する」ことが無限集合の「定義」であると言明することには,慎重であってほしいと思います(学習者,教える人,どちらの立場の人にも).

大学教養レベルの集合論の一般的な教程では,有限集合と無限集合の定義は

(i) A が有限集合 = ある自然数(0以上の整数) n について, A の濃度が n である = ある自然数(0以上の整数) n について, A と { 0, ..., n-1 } との間に全単射が存在する
(ii) A が無限集合 = A が有限集合でない

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