平均の問題(高校入試)

お世話になっております。ある機会で次のような平均の問題を見たのですが、始め「何！？」と焦ったのですが、何とか導けました。ただ、私の方法は無駄に長ったらしくて、何か良い別解があればご教示賜りたく存じます。

問 6人の生徒、A～Fのそれぞれの体重から、Bの体重を引いた値(kg)はそれぞれ、

A-B=5
B-B=0
C-B=-3
D-B=11
E-B=-9
F-B=8

であり、また6人の体重の平均は56kgであった。このとき、Fの体重を求めよ。

解 文字をうまく変形して、与えられた条件を代入していくことを考える。それぞれの体重をA～Fとして

(A-B)+(B-B)+(C-B)+(D-B)+(E-B)+(F-B)
=(A+B+C+D+E+F)-6B。
よって
(A+B+C+D+E+F)-6B=12。
この平均が
{(A+B+C+D+E+F)/6}+(6B)/6=2
ゆえに B=54(kg)であるから
F=54+8=62(kg)。

宜しくお願い致します。

No.1 ベストアンサー 回答者： cozycube1 回答日時： 2013/01/21 19:44

　考え方としては、全く問題ないと思います。

Bの体重を求めてから、Fの体重を求めるということで間違いありません。単に計算テクニックで、どういう好みかというだけでしょう。

>A-B=5
>B-B=0
>C-B=-3
>D-B=11
>E-B=-9
>F-B=8

　左辺をBを含めた全員からBの体重を引いており、右辺を足すと12kgです。そして平均は56kgだと分かっています。

　その12kgは「B基準の体重からの各人の差の6倍（6人分）」です。お示しの式は「(A+B+C+D+E+F)-6B」ですね。

　それなら一人分（これが平均値）とBの体重の差は、12/6＝2kgなります。お示しの式では「{(A+B+C+D+E+F)/6}－(6B)/6=2」（＋となっていたのは誤記でしょう）ですね。

　それが『56kg－B＝2』となります。「6人の体重の平均は56kg」が表す式が、(A+B+C+D+E+F)/6＝56ですから。多少工夫するとしたら、そう書くくらいです。

　すると、Bの体重は平均値（56kg）より2kg少ない54kgと分かります。すると、F＝54+8＝62。

　お示しの計算は、よく考えられていて、無駄に長くはありません。私などですと、闇雲に手を付けて、「連立一次方程式だから、まず変数Bを消去して、それからCを…」などとやって、解けなくなる罠にはまりそうです。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございました。すいません……符号の部分は誤記です。実は試してから解答を見たのですが、略解か！？というくらいはしょっていて計算の根拠が分からず、平均の考えをもっと活用した解き方でもあるのかなぁと質問させていただきました。

ご丁寧に指摘下さりありがとうございました。

お礼日時：2013/01/21 19:54

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/01/21 19:46

>(A-B)+(B-B)+(C-B)+(D-B)+(E-B)+(F-B)

>=(A+B+C+D+E+F)-6B。
>よって
>(A+B+C+D+E+F)-6B=12。
ここまで合ってます。

>この平均が
>{(A+B+C+D+E+F)/6}+(6B)/6=2
符号の間違い↑。

　{(A+B+C+D+E+F)/6}-B=2
　　 56 (kg) -B=2 (kg)
　B=56 - 2 (kg)

>ゆえに B=54(kg)であるから

F-B=8(kg) より
F=B+8 (kg)
>F=54+8=62(kg)。

で合ってます。

この回答へのお礼

急いで打ち込んでしまいました……。「-」が正しいです。
急いで、やはり途中いくつかはしょってしまいましたが、丁寧に補足して下さりありがとうございました。

お礼日時：2013/01/21 19:57