2次近似したときの誤差R3について

f (x) ＝　1 /( 1 + x ) x=0 の近似式　1-x + x^(2) - x^(3) + ・・・・・になりますが、
これの２次近似したときの誤差R3(x)を求めたいのですが、
近似の誤差の公式に当てはめたのですけど、うまく答え通りになりませんでしたので、答えまでの手順を教えてください。宜しくお願いします。

答え　-x^3 / (1+c)^4 　 (c は0とx の間の数)

No.3 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/23 18:20

「答え」と書いてある -x^3/(1+c)^4 は、

0 と x の間の数 c で -x^3/(1+c)^4 = -x^3/(1+x)
となるものが在るってことでしょ。

n 次テイラー近似の誤差項には、数種類の
表示公式があるけれど、テイラーの原形では、
f(x) = Σ[k=0…n-1] {f^(k)(0)/k!}x^k + {f^(n)(c)/n!}x^n
となる c が 0≦c≦x または x≦c≦0 の範囲にある。

f(x) = 1/(1+x) では f^(3)(c) = -6/(1+c)^4 だから、
R3(x) = {f^(3)(c)/3!}x^3 = -x^3/(1+c)^4。

でも、c が 0～x のどこにあるか判らない -x^3/(1+c)^4 より、
R3(x) = -x^3/(1+x) のほうが明示的でイイでしょう？

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。感謝いたします。

お礼日時：2013/02/28 23:44

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/23 14:39

f(x) = 1/(1+x) = 1 - x + x^2 - x^3 + …

の二次近似は、f(x) ≒ 1 - x + x^2 ですから、
誤差項は R3(x) = f(x) - {1 - x + x^2} = - x^3 + x^4 - x^5 + …
です。これって、等比級数じゃないですか？
R3(x) = -x^3/(1+x) です。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます。感謝いたします。

お礼日時：2013/02/28 23:44

No.1 回答者： noname#174809 回答日時： 2013/02/23 01:57

割り算でいけますよ。