「夫を成功」へ導く妻の秘訣 座談会

こんにちは

突然ですが、「微分する」、とはどのようなことなのでしょうか?
微分方法は分かるのですが、微分することによって何がどうなるのかがイメージできません。

辞書で調べてみると、微分とは「ある関数の導関数を求めること」と書かれています。
今度は導関数を調べてみると、「関数f(x)を微分して得られる関数f'(x)を、もとの関数の導関数という」と書かれています。
要は、導関数とは「関数f'(x)」のことでしょうか。
では、微分しこの導関数を求めることによって、何がどうなるのでしょうか?
何のために求めるのでしょうか?

私は数学にはあまり詳しくありません。(数IIに関する知識も殆ど忘れてしまっています;)
ですので、出来ましたら端的にわかり易くご説明していただけると、とても助かります。

お手数ですが、よろしくお願いします。

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A 回答 (8件)

 幾何学と結びつけて理解の一助としてはどうでしょうか。



 幾何学といっても、2次元、つまり平らな紙の上に描いたグラフでいいです。

 数式で「y=-x^2」(^2は2乗という意味)をグラフに描くと、いわゆる放物線という曲線になります。

 y=-x^2を微分すると、y'=-2xですね。それが何を表しているかと言うと、(各々の)xでのグラフの接線の傾きです。

 では、その接線は何の意味があるか、ということになります。実際に何か物体を上向きに放れば、やはり放物線です。時々刻々、物体の速度は変わって行きます。その速度は、接線の傾きで表せるんですね。

 もちろん、これだけではないですが、そうしたことに微分は使えます。

 他に、やはり幾何学ですが、二つの直線が一点で交わっているとして、その交わる角度は分かります。直角に交わっているかどうかなどですね。それが二つ曲線だと、交わる角度をどう考えたらいいか、ちょっと迷います。

 方法の一つとして、交わっている点での二つの曲線の接線を考えればいいのです。それを、二つの曲線の交わる角度として考えたりできます。

P.S.

 微分が曲線の接線の傾きを表すのに対し、積分(定積分)は、曲線が与える面積を表せます。
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この回答へのお礼

こんにちは

微分することによって何が分かるのか。
その質問に対する的確で整然としたご回答、ありがとうございます。
とても分かりやすかったです。

また、積分にも触れていただきありがとうございました。
おいおい積分に関しても勉強しなければならなかったので、ここでイメージのヒントを与えていただき、とても嬉しいです。

ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/08 23:16

例えば、関数f(x)がお父さんだとすると、導関数f’(x)はその息子です。

f(x)について知りたくてf’(x)に尋問したりします。そしてf’(x)の方が容易だったりします。
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この回答へのお礼

こんにちは


関数f(x)を理解するために、導関数f’(x)を用いて考える。
・・・では、関数f(x)の何が知りたいんでしょう。何が知れるんでしょう。

と考えだしたらキリがないですかね。
うーん、数学のエキスパートの友だちがほしいです(笑)


ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/20 00:12

辞書で調べたのが、失敗でしたね。


その説明は、対で見ると、典型的な循環定義になっていますが、
正しく循環しているので、矛盾はありません。
辞書は、言葉で言葉を説明するものなので、
ほぼ全ての説明が、手繰ってみると循環的になっているのです。
どこか出発点の言葉を知らなければ、意味をとることはできない。
質問文中の説明も、「微分する」を知っていれば「導関数」が、
「導関数」を知っていれば「微分する」が解るようになっています。
辞書としては、それで正しいのです。
「赤」と「赤い」の関係なども調べてみるとよいと思います。
数学で用語を定義するのとは、ちょっと違います。

「微分する」と「導関数」の数学的な定義を知るには、
解析学の教科書を見るとよいです。

そこでは、おそらく、まず「微分係数」が定義してあって、
変数 x を、関数 f(t) の t=x における微分係数へ写像する関数を、
f の「導関数」と言い、f'(x) などと書く。
関数 f に対し、その微分係数または導関数を求めることを、
f を「微分する」と言う。 …と書いてあるはずです。

「微分係数」のほうは、本により多少バリエーションはありますが、
lim[x→a] {f(x)-f(a)}/(x-a) と定義してあるのが通常です。

それに先立って、lim[x→a] の定義が必要ですね。
ここは、学年によって大きな違いがあって…

高校の教科書では、簡潔な定義は抜きで、x が a に近づくとき
g(x) がひとつの値 b に近づくことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。 …と説明してあります。
「近づく」とは何か?というと、lim から循環的に説明するしかない
ので、これは辞書とよく似たスタイルです。

大学生向きの入門書では、いわゆるεδ論法によって、「極限」を
定義してあるものが大半です。
任意の正数 ε について、それに対応する正数 δ が存在して
以下の条件が成り立つことを、lim[x→a] g(x) = b と書き、
b を x→a における g(x) の「極限」と言う。
条件: |x-a|<δ ならば、|f(x)-b|<ε.

大学流の lim の定義は、初めて見るとトッツキニクイ印象ですが、
厳密で簡潔なので、慣れると使いやすいのです。
辞書や高校教科書のような循環的説明には、ならないし。
ここを出発点に、上記を遡って、「導関数」などを定義します。
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この回答へのお礼

こんにちは


いやぁ、数学ってすごいですね。何と言うか、謎が謎を呼びます。理解したつもりでも、新たな"?"に辿り着いて果てしない感じです。

今度は「極限」とは何か、に躓きました(笑)
「最大・小」と「極限」の違いは何?という感じです。
うーん、大学では専門外ですが、もう少し勉強したくなりました。

ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/19 23:55

最初の定義のところを読んでみるとよいと思いますよ。



f(x)=x^2

上の点P(x,x^2)

ここから、hだけx座標が増加したところのf(x)上の点Q(x+h,(x+h)^2)

平均変化率を求める式は、(x+h)^2-x^2 / x+h-x

=2hx + h^2 / h

=h(2x + h) / h

=2x+h

このh を限りなく0に近づけていく、だから、2x。
f'(x)=2x
だと導けます。

そうすると、Pにおける接線の傾き(その瞬間の変化率)が求まると私は理解しています。

具体的な数値で考えれば、よりわかりやすいかもしれません。

P(2,4)だったとして、Q(5,25) だったとしましょうか。
x座標は3増えて、y座標は21増えている。
この間の平均変化率は、21÷3=7
PQを結ぶ直線の傾き。

ここでいう「3」をどんどん小さくしていく、限りなくゼロに近づけていくというイメージを私は持っています。
点Qが、点Pに近づいて行って、最終的には限りなく一致するところまで行きます。
となると、PQを結ぶ直線は、Pにおける接線となる、という感じでしょうか。
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この回答へのお礼

こんにちは


>>このh を限りなく0に近づけていく

教科書でも同じような説明をされていたんですが、私はこの部分が引っ掛かりよく理解できませんでした。
"なぜ0に近付けるのだろう?"と、その行動の意味が分からなかったのですが、今考えてみるとhを0に近付ける理由は、直線上の傾きではなく、限りなく短い線=点の傾き(その瞬間の変化率)を知るためなのかなぁ、となんとなくイメージできるようになりました。


ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/19 23:26

簡単に云うと変化分を求めると考えたらいかがでしょうか?


40km/hで進んでいた車が10秒後に50km/hになったら1秒当たり1km/hの変化があった。
ブレーキをかけたら、マイナスの変化があったと考えるとわかりやすいかと思います。
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この回答へのお礼

こんにちは

車で走るとき、必ずしもその速さは一定ではなく変化する。
その変化分を求めるために微分する、ということですね^^

ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/08 22:56

いろいろ難しい説明はあるのでしょうが


もっとも簡単な説明は
そのの通りのことです。

曲線を、小さく小さく小さく微小に分けていくと
その小さな部分では直線と考えることができませんか?

微分とはそういうことなのです。

つまり難しい曲線の式を
直線に変えて簡単にしましょうということです。

例えば y=x^2の式は微分すると y=2x
あるxの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。

ちなみに積分というのは
曲線で囲まれた範囲の面積を求めるとき
大きな正方形以外の部分を
小さな小さな小さな正方形で分割してしまうと
限りなく元の曲線で囲まれた部分の面積に近づくでしょう。
それが積分の意味です。

どうでしょうか。
簡単に理解できましたでしょうか?
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この回答へのお礼

こんにちは

成る程です。
たしか二次関数の放物線の傾きは、一次関数の直線とは異なり、一定ではないと習いました。図に書いてみると確かに一定ではないなと納得します。
では、その座標ごとに変化する曲線の傾きの値を知るために、微分するということでしょうか。

>>例えば y=x^2の式は微分すると y=2x
>>あるxの値の時の曲線の傾きを表していると言えるでしょう。

とありましたが、仮にx=1,3だとすると、
y(x)=x^2
y'(x)=2x

x=1のとき、y'(1)=2
x=3のとき、y'(3)=6

よって、y=x^2の放物線においてx=1のとき、その傾きは2だが、x=3のときは、その傾きは6になる。

という理解で大丈夫でしょうか?

お手数をお掛けしてすみません。
よろしくお願いします。

お礼日時:2013/03/08 22:49

私は数学苦手なほうなのですが、



自分は、微分の意味を考えると難しいので、
もう計算処理だと考えてます
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この回答へのお礼

こんにちは

計算処理だと割り切って考えることもありますよね。
私は英語なんか特にそうです^^
どうして動詞にsが付いたり付かなかったりするんだろ?とは思いますが、とりあえずはこういうものなんだ、って割り切って考えます。
じゃないと他のことがなかなか出来なくなりますよね(- -;)

ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/08 22:22

ざっくり言うと増え方減り方を求める方法です。


クルマの速度と加速度の関係が分かりやすいと思います。
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この回答へのお礼

こんにちは

身近な速度と加速度の関係にも、微分は関わってくるんですね。すごい。

ご回答、ありがとうございました!

お礼日時:2013/03/08 22:14

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Aベストアンサー

こんばんは。

おそらく高校生のお方ですね。

それは洗練された言い方ではないですが、
まずは、その解釈でよいですよ。

「洗練された言い方ではない」と言った理由は、
微分というのは、基本的に、何かに対する他の何かの変化の比であって、
そして、また、
微分が表すものは、接線の傾きだけではない、ということです。
たとえば、
位置(距離)を時刻(時間)で微分すれば速度になり、速度を時刻で微分すれば加速度になります。
重力による位置エネルギーを距離で微分すれば、重力になります。

逆に言えば、
微分法というものは、非常に有用で使い道が幅広いということです。
私見ですが、高校数学の中で最も重要です。


以上、ご参考になりましたら。

Qyをxで微分するときの微分の仕方の違いがよくわかりません。

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お願いします。

Aベストアンサー

>なせ(2)では2yy'/4となっているのでしょうか?
ここは2ydy/dxとはなぜならないのでしょうか?
2yy'/4=2ydy/dx/4ですよ
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d^2y/dx^2を略してy''
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Q微分積分って何に使うのですか?

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あと、振動波形などの線図データの特徴を捉える為に、微分して、”一定変動で無い部分はどこか” を探すのに利用したりもしています。微分すると一定変動で無い部分が顕著に現れますからね。あと微分値(傾き)が0になる所を見つけることによって波形データの頂点(折り返し点)を容易に見つけるということもやってます。

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ようするに、”あの人はどのくらいガンバッテいるのか” という曖昧で一つの値では表現しにくいものについて、総合点というカタチで数値を求めることができる。しかもその総合点は他人との比較にも使える ということです。

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 政治思想は、下記のXY軸に表す事が出来ます。(リベラルを日本語に訳したのが「革新」あるいは左派です。)

 Y軸 Libertarian(自由・市場主義 = 小さな政府) - Statist(統制主義 = 大きな政府)
 X軸 Liberal(革新) - Conservative(保守)
 真中 Centrist(中間主義)

 各派の解説は下のURLの解説部分を参照してください。
   http://meinesache.seesaa.net/category/719933-1.html

 自由主義と言うとリバタリアンの範疇になりますが、アメリカの政治に例えると、レーガン大統領より前の共和党政策が旧保守主義(右派リバタリアン)で、それ以後を新保守主義(ネオコン)といい保守と名乗っていますが、実態は左派リバタリアン(左派が保守に転換し、現状を保守する為に革新的手法(戦争など過激な改革を許容する)を執ると言う主義)です。

 自由主義の反対となる統制主義も左派だと共産主義や社会主義、比べると右派に成るイギリスの「ゆりかごから墓場まで(高福祉政策)」などが有ります。

 簡単に言うと、積極的に変えようとするのが左派で、変わらないように規制するのが右派です。そして変える方向(変えない方向)が自由か統制かで分類できます。

 日本には明確に保守を謳う政党が無いので、イメージがわき難いのかも知れませんが…。
 (自民・民主党は中道で、共産党は左派統制主義ですから…。)

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 Y軸 Libertarian(自由・市場主義 = 小さな政府) - Statist(統制主義 = 大きな政府)
 X軸 Liberal(革新) - Conservative(保守)
 真中 Centrist(中間主義)

 各派の解説は下のURLの解説部分を参照してください。
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Q反応物 生成物について

反応物と生成物ってどういった違いがあるのですか?例えば水素が燃焼する時、反応物は何で、生成物は何になるのでしょうか?皆さんにとっては簡単な質問でしょうが、わからないのでどなたか教えてください。

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#1の方もいわれていますが
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問いに対して化学式(言葉)で書くと
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であり左が反応物,右を生成物として表します.

補足に書いてあった
H2+Oというのは半分正しいのですが
水素や酸素など気体は一般的に分子の形しか
とらないという約束を踏まえて
2H2+O2→2H2O
という形にします.両辺を2倍しただけですが
酸素を原子として取り扱わない事に
重要性があります.

木(主成分 炭素C)が燃えて二酸化炭素が発生する
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Q加重平均と平均の違い

加重平均と平均の違いってなんですか?
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わかりやす~い例で教えてください。

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例えば,テストをやって,A組の平均点80点,B組70点,C組60点だったとします.
全体の平均は70点!・・・これが単純な平均ですね.
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ところが,A組100人,B組50人,C組10人だったら?
これで「平均70点」と言われたら,A組の生徒は文句を言いますよね.
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(80×100+70×50+60×10)÷(100+50+10)=75.6
とやって求めるのが「加重平均」です.

Q証明終了時の"Q.E.D."は何の略ですか?

数学等の証明問題で、証明が終わったことを表す時に"Q.E.D."を使いますが、Q.E.D.とは何の略なのでしょうか?
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Aベストアンサー

 こんばんは。

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http://ja.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/Q.E.D.

Q道路の白線・黄色線は「はみ出し禁止」?「追い越し禁止」?車線変更は?

道路の白線・黄色線について疑問に思っています。過去の質問を拝見しましたら、白・黄色の実線について
「はみ出し」を禁止している
「追い越しのためのはみ出し」を禁止している
「追い越し」を禁止している
との回答を眼にしました。

1)どの見解が正しいのでしょうか?


2)1)の回答にもよりますが、車線区分線としての白・黄色の実線の場合には、車線変更は禁止なのでしょうか?

「はみ出し」禁止であれば当然ダメでしょうが、「追い越し」禁止であれば車線変更は可能なような気がします。しかし、その場合は「追い越しのための車線変更」と「ただの車線変更」との区別がつかず、どこから違反とされるのかわかりません。

宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

少し噛み砕いて書いてみます。
(学科のテキストには明記されていないと思われるので)

◆白色実線の中央線

主に、片側に複数車線ある場合の中央線で、(原則として)絶対にはみ出し禁止。

(複数の車線があるため、駐車車両や道路工事などがあっても、中央線をはみ出すことなく回避できるから)

中央線が2本線で引かれている場合は、それが中央線であることと、はみ出してはいけないことを、より強調するため。

◆黄色実線の中央線

主に、片側1車線の道路に引かれており、追い越しのための右側部分へのはみ出しは禁止。

(道幅が狭いため、駐車車両や道路工事、また軽車両を追い越すなどやむを得ない場合には、中央線の右側へはみ出すことが出来る)

「追い越し禁止」の標識がある場合は、右側へはみ出すことはもちろん、はみ出さずに済む状況であっても、追い越しそのものが禁止されます。


次に

◆実線の車線境界線(白色・黄色とも)

実線部分では、車線変更そのものが禁止されます。白・黄色ともに。

※交差点(内部)と、その手前30メートル以内はもともと「追い越し禁止」場所ですから、仮に点線(破線)の車線境界線であっても、追い越しのための進路変更(車線変更)をすることは出来ません。
(優先道路を走行していて信号機のない交差点の場合は除外。←あまり考えなくて結構です)

テキストには、「追い越しが禁止される場所」として7項目の記載があると思います。
それらの場所では、追い越しをしようとして進路変更(車線変更)しただけでも違反行為と考えられます。

●「追い越しのための車線変更」と「ただの車線変更」との区別 について。

クルマはその速度に応じた車間距離を必要としますが、最低限必要な距離としては、前車が急停車した場合に追突しない距離と考えられます。
次に、追い越す動機としては、速度差があるため前車に対して、最低限必要な距離程度までに近づいてしまったから、という理由が挙げられると思います。
(勿論、急いでいる場合もあるでしょう)

追い越す意識(目的)があるかどうかという心理は、遠目には分かりませんが、車間距離がギリギリまで近づいていた場合には、意図していたと判断されるのではないでしょうか?
追い越す必要がなければもう少し車間距離を取るでしょうから。
特に速度を上げて接近していった場合には、その速度差から、追い越す意識があったと判断されると思われます。

現実的には、追い越しのための車線変更自体が違反行為となるケースが多いと思いますが、単純に追い越す意図があるかないか、を判断する材料はギリギリの車間距離か十分な車間距離か、また、前車と同じ速度であったか、速い速度で接近中であったか、だと考えます。

前車と十分な車間距離があり、速度も同程度の場合には、単なる車線変更と見なされると思います。

どうぞご安全に。(元、指導員より)

少し噛み砕いて書いてみます。
(学科のテキストには明記されていないと思われるので)

◆白色実線の中央線

主に、片側に複数車線ある場合の中央線で、(原則として)絶対にはみ出し禁止。

(複数の車線があるため、駐車車両や道路工事などがあっても、中央線をはみ出すことなく回避できるから)

中央線が2本線で引かれている場合は、それが中央線であることと、はみ出してはいけないことを、より強調するため。

◆黄色実線の中央線

主に、片側1車線の道路に引かれており、追い越しのための右側部分...続きを読む

Q蒸気圧ってなに?

高校化学IIの気体の分野で『蒸気圧』というのが出てきました。教科書を何度も読んだのですが漠然とした書き方でよく理解できませんでした。蒸気圧とはどんな圧力なのですか?具体的に教えてください。

Aベストアンサー

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液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できます。
また、油が蒸発しにくいのは油の蒸気圧が非常に低いためであると説明できます。

さきほど、常温での水の飽和蒸気圧が0.02気圧であると述べましたが、これはどういう意味かと言えば、大気圧の内の、2%が水蒸気によるものだということになります。
気体の分圧は気体中の分子の数に比例しますので、空気を構成する分子の内の2%が水の分子であることを意味します。残りの98%のうちの約5分の4が窒素で、約5分の1が酸素ということになります。

ただし、上で述べたのは湿度が100%の場合であり、仮に湿度が60%だとすれば、水の蒸気圧は0.2x0.6=0.012気圧ということになります。

蒸気圧というのは、主として常温付近で一部が気体になるような物質について用いられる言葉です。

液体の物質の場合に、よく沸点という言葉を使います。
物質の蒸気圧が大気圧と同じになったときに沸騰が起こります。
つまり、沸点というのは飽和蒸気圧が大気圧と同じになる温度のことを言います。
しかし、沸点以下でも蒸気圧は0ではありません。たとえば、水が蒸発するのは、常温でも水にはある程度の大きさ(おおよそ、0.02気圧程度)の蒸気圧があるためにゆっくりと気化していくためであると説明できま...続きを読む