三重積分 (x^2+y^2+z^2)dxdydz

範囲はこれで与えられています。x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1
x=a*r*sinθcosλ
y=b*r*sinθsinλ
z=c*r*cosθ とおきました。ｒは０から１まで、θは０からpiまで、λは０から２piまでだと思います。ヤコビアンはabcr^2sinθになります。それを普通に積分していたのですが、答えが合わなかったのです。私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。
よろしくおねがいします

No.1 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/01 20:38

a>0,b>0,c>0として

∫∫∫{x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2<=1}(x^2+y^2+z^2)dxdydz
=∫∫∫{0≦ｒ≦1,0≦θ≦π,0≦λ≦2π}　　
　(r^2)abc(r^2)sinθdrdθdλ
=abc∫{0≦λ≦2π}dλ*∫{0≦θ≦π}sinθdθ
*∫{0≦ｒ≦1}r^4 dr

>私のやり方が正しいかどうかだけを教えてほしいです。

上のような積分になれば合っています。

>答えが合わなかった。
答えまでの計算が書いてないので、答えまでの途中計算はチェックできません。

正しく計算すれば
=(4/5)πabc
となります。