場合の数の最短距離問題の考え方が全くわかりません。
下の問題なんですが、解答解説を読んでもちんぷんかんぷんです。
[問題(画像下)]
右図において、aからbまで行く時の、最短となる進み方は何通りあるか。
(1)aからbへ直接行く場合は何通りですか
(2)点pを必ず通って行く場合は何通りですか
[解答]
(1)最短距離ゆえ、横に3、縦に4で合計7本の棒を考え、このうち3本横と考えれば残りは自動的に縦に4本と決定。よって横3本の決め方は、棒に区別はないのでダブりを考え7×6×5÷(3×2×1)=35通り。
(2)同様に考え、a→p→bの順に計算する。
(1)だけでも良いので、どなたか噛み砕いて教えてください。よろしくお願いします。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
1)AからBへ行く方法として、7回の動きがあるのは分かりますね。
例えば、縦をT、横をYと示すとすれば、
TTTTYYY という動き方もあれば、
YYYTTTT だったり、TYTYTYT かもしれません。
要するに、Tを4つ、Yを3つ並べる方法が何通りあるかを考えます。
7つのマスがあるとして、そこにYを3つ並べる方法は何通りあるでしょう?
(=Yを3つ置ければ、あとは自動的にTとなるので考えなくともよい)
まっさらな状態から、Yの一つ目を置くとしましょう。
置き方は? 当然7通り。
では、2つ目のYを置きましょうか。もうすでに一つ目のYが置かれていますから、
空白は6つです。したがって6通り。
では、3つ目のYを置くとすれば、5通り。
ここまでで、7×6×5 通り、となります。
しかし。
3つあるYの区別はありませんので、この重複を除外せねばなりません。
3つあるYを区別のために、あえて、Y1,Y2,Y3とするならば、これの並べ方は、
Y1,Y2,Y3
Y1,Y3,Y2
Y2,Y1,Y3
Y2,Y3,Y1
Y3,Y1,Y2
Y3,Y2,Y1
の6通りがあります。
この考え方も同じように、3つのマスにY1,Y2,Y3を並べる方法を考えればいいです。
1マス目には、Y1,Y2,Y3の3通りがあり、
1マス目が決まれば、2マス目には残りの2通り、
1,2マス目が決まれば、3マス目は自動的に決まる(1通り)
なので、3×2×1=6
というわけで、
(7*6*5)÷(3*2*1) となっているのです。
高校数学を習ってれば、7C3 という形ですぐ出るんですけどね。
ちなみに、冒頭でYを3つ並べる方法で計算しましたが、
Tを4つ並べる並べ方でも同じ答えとなります。
(7*6*5*4) ÷ (4*3*2*1)
2) これは上の発展形。A-P と P-B で分けて考えましょう。
No.1
- 回答日時:
(1)は考え方も式も合っていると思います。
↑4つ、→3つ、同じものを含む7つのものの順列と考えます。
※参考書ではよく、「Aが4つ、Bが3つ」など、アルファベットや数字を並べ替える問題が出されています。
(2)同じ考えでいいです。
p への行き方は、↑2つ、→1つなので、3×2÷(2×1)=3 …(1)
b への行き方は、↑2つ、→2つなので、4×3÷(2×1)=6 …(2)
これが連続して起こるので、3×6=18 通り
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