x^α(αは無理数）の微分

αが無理数の場合も(x^α)'=αx^(α-1)が成り立ちますか。

No.4 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2013/06/02 13:36

本質は、無理数乗の定義は何か ということでは？

高校の教科書では、よく、xの(αの有理近似)乗
の極限として xのα乗 を定義するけれど、あれは、
A No.2 に書かれたようなデリケートな極限操作が
頻繁に登場して、解析にはあまりなじまない。

log(x) = ∫[1～x](1/t)dt で定義した log と
その逆関数 exp を使って、
xのα乗 = exp(α log(x)) で定義すれば、
対数微分法は、単なる技巧ではなく、
定義に忠実な合成関数の微分法となって
見通しがいい。

こっちの定義の下に、指数法則・対数法則の成立も、
代数的な有理数乗と一致することも、証明できるし。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。理解できました。

お礼日時：2013/06/04 21:43

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2013/06/02 13:14

x>0のとき

x^α=e^(αlogx)
なので、合成関数の微分に帰着。

x<0のとき
実数の範囲でx^αは普通の関数として定義されないのでこの
関数自体を考えません。

x=0のとき
0を含む開区間に負の数が含まれてしまうので普通は微分を
考えません。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/04 21:40

No.2 回答者： kabaokaba 回答日時： 2013/06/02 10:39

本質は・・・極限操作と「微分」が交換可能かということ

極限の順序の交換（微分もいってしまえば極限のこと）は
微妙な問題なので，
x^α
の微分は対数微分を使うのが簡便．

結論としては
(x^α)'=αx^(α-1)
は正しい

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/04 21:40

No.1 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/06/02 08:16

　成り立ちます。

http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/bibun …^n.html

では有理数までですが、どんな無理数でもそれに限りなく近い有理数があることを考えればいいかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

お礼日時：2013/06/04 21:40