教えてください、分かりません

高校3年です。　　


√xlogxの定積分(1→4)


が、わかりません

ぜひ解説してください。お願いします

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/06/28 09:05

＞部分積分を使いますが、√x=tとおいた方が見易くなるのでは？

√x=tなら、x=t^2、dx=2tdtになるので
∫√xlogxdx=∫tlog(t^2)2tdt=∫t2log(t)2tdt=4∫t^2logtdt
ここで、(1/3)t^3logtをtで微分すると
{(1/3)t^3logt}'=t^2logt+(1/3)t^3(1/t)=t^2logt+(1/3)t^2
∫t^2logtdt=(1/3)t^3logt-∫(1/3)t^2dt=(1/3)t^3logt-(1/9)t^3+C(積分定数)
よって、
∫[1→4]√xlogxdx=4∫[1→2]t^2logtdt={(4/3)t^3logt-(4/9)t^3}[1→2]
={(4/3)*2^3log2-(4/9)*2^3}-{(4/3)*1^3log1-(4/9)*1^3}
=(32/3)log2-28/9・・・答

No.1 回答者： Grignard007 回答日時： 2013/06/28 01:38

関数の積を積分するときは部分積分です。

片方を微分した関数とみなして片方ずつ積分してやるあれです。
詳しくは教科書をご覧ください。

(2/3)[x^(3/2)*logx]-(2/3)∫x^(1/2)=(2/3)[x^(3/2)*logx]-9/4[x^(3/2)]

積分した形は上のようになります。
あとは代入してしまえばいいです。