No.1ベストアンサー
- 回答日時:
f(x) = a^x のとき、
(f(x+h) - f(x))/h = (a^(x+h) - a^x)/h
= ((a^x)(a^h) - a^x)/h
= (a^x)(a^h - 1)/h,
(a^h - 1)/h = ((e^(log a))^h - 1)/h
= (e^(h log a) - 1) / h
= (e^t - 1) / (t/log a) ; t = h log a で置換
= (log a) (e^t - 1)/t,
f'(x) = lim[h→0](f(x+h) - f(x))/h
= (a^x) (log a) lim[t→0](e^t - 1)/t
となります。
lim[t→0](e^t - 1)/t = 1 は、e の定義です。
この回答への補足
alice_44さんはt=hlogaで置換
回答2でnaniwacchiさんはt=a^h-1で置換とお二人ともうまく置換されていますがどう置換するかは、私のような数学音痴にもピンとくる法則みたいなものはないでしょうか。
No.3
- 回答日時:
どんな極限でも、この手順でやれば値が求まる
という方法は、ありません。というか、
そんなのあったら、つまらない。
A No.1 の変形について言えば、どうやったら
それを思いつくかの話ではなくて、あのような
変形があるから、指数関数が微積分の基本関数の
ひとつとして重用されるようになったのだし、
lim ((aのh乗)-1)/h が 1 になるような a の値
として e が発見/定義されてきたのです。
話の順番が、逆です。
No.2
- 回答日時:
こんばんわ。
分子である a^h-1をそのまま tとでも置いてしまいます。
すると、h= log(1+t)/log(a) (底は e)となります。
また、h→ 0のとき、tも t→ 0となります。
よって、
(a^h- 1)/h
= t* log(a)/log(1+t)
= log(a)/log{ (1+t)^(1/t) }
log{ (1+t)^(1/t) }→ log(e)= 1となり、log(a)が極限値となります。
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