「9.999…」は10「未満」か「以上」か？

10を境に何かを決める場合で、計算結果が「9.999…（無限に9）」となったとき、それは10「未満」に含まれますか？それとも10「以上」に含まれますか？

以下、質問の背景を申し上げます。

法人税法では、減価償却限度額や寄付金の損金算入限度額など、様々な限度額が設定されています。その限度額を計算した結果、円未満の端数が生じた場合は、特に指定がなければ端数を切り捨てることになっています。正確に言うと「（償却限度額）に達するまでの金額とする」（法人税法第31条）という言い方をしています。

例えば、ある限度額を計算した結果、「99,999.999…（無限に9）」となった場合、確定申告書に記載すべき限度額は、「99,999円」と記入することになっているのです。しかし、数学上「0.999…（無限に9）」が「1」と等しいのであれば、この場合の限度額は「100,000円」でよいのではないか、決して端数処理（切り上げや四捨五入）をしているわけではない、と私は思うのです。

たった1円のことですが、この他にも例えば「5万円以上10万円未満の場合は○○」、「10万円以上15万円未満は××」という具合にテーブルが階段式の場合、その1円のために結果が大幅に変わってくることもあるのです。

以上のような背景により冒頭の質問をしたわけです。もとより、日常生活が学問どおりいかないこともよくあることは承知しています。だからといって、このような日常的な経済活動における計算結果というのは、誰が行っても同じように出るべきものでしょうから、この場合よりどころとなるのは「学問」だと思います。ご教示のほどよろしくお願いいたします。

No.8 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2013/07/18 09:00

補足です。

No.4 で挙げられている例は、「極限値（『値』がついていることに注意してください）」は存在しないことが容易に証明できます。

日常の言葉で、「限りなく近づく」という定義をしても、厳密な議論ができません。
そこで、数学では、厳密な言葉で「極限」や「極限値」を定義します。

それはたとえば、

数列 a(n) = 1 - 0.1^n を考える。
任意の正数 ε に対して、 n >= -log10(ε) ととれば、|1 - a(n)| <= ε とできる。
つまり、a(n) = 1 (n → ∞)

こんな感じの議論をします。

No.7 回答者： Cupper-2 回答日時： 2013/07/18 08:59

無限小数がどうのと考えるのではなく

　　以上／以下／未満／超過

の意味を正しく理解していれば問題は無いと思うのですがいかがでしょう。


ちなみに0.999…は1と等しくありません。
論理的に考えるとき１と等しく扱うことができるだけで、限りなく１に近いだけです。
同じではありません。
　0.999…＜1
ですからね。

No.6 回答者： Nakay702 回答日時： 2013/07/18 08:56

＞10を境に何かを決める場合で、計算結果が「9.999…（無限に9）」となったとき、それは10「未満」に含まれますか？それとも10「以上」に含まれますか？

⇒「9.999…（無限に9）」、それは「10未満」に含まれます。
また同時に、「10以下」にも含まれます。

なお、「未満」と「以下」とは次のように違います。
「10未満」とは、「10に満たない数」の意ですから、「10は含まれません」。
他方、「10以下」とは、「10を以（も）って、それの下」の意ですから、「10も含まれます」。

数学的記号を用いるなら、それぞれ
10未満＜10
10以下≦10
と表わすことができると思います。

以上、ご回答まで。
（お答えになっていますでしょうか？）

No.5 回答者： AsanoNagi 回答日時： 2013/07/18 08:52

えっと、「数学的に」ということのみでいえば、

0.999.... という無限小数は、正確に 1 に一致します。

この場合、まず、0.999... というものを、「数学的に」定義する必要がありますが、その一つとして、

a1 = 0.9
a2 = 0.99
a3 = 0.999
a(n) = 1 - (0.1)^n （^ はべき乗）

という数列の「極限値」であると定義することが自然でしょう。
この場合、数列 a(n) は、「すべての項が1以下であり、しかも、（狭義）単調に増加する」ことから、極限値が存在することが証明できます。
そして、その極限値は、「1より小さいどのような実数より大きい」ことも証明でき、このことから、a(n) の極限値が1であるこが証明できます。

よくある誤解は、「数列 a(n) のどの項も 1 とは等しくない、故に、a(n) の極限値も 1 ではない」というものですが、数学的な「極限値」の性質に、「どの項も a 『未満』の時 極限値は a 『以下』である」というよく知られた性質があり、 これを理解すると、「どの項も 1 ではない」というのと「極限値は1である」ということが矛盾しないことが分かります。

No.4 回答者： maiko0318 回答日時： 2013/07/18 08:51

数学ですと、1と0.9999999が違うのは、例えば極限というものがありますよね。

　　　　1
lim　--
x→0　x

ですとxは0に近づいていきますがxは0にはなりません。（数式が破綻します）

No.3 回答者： USB99 回答日時： 2013/07/18 08:42

＞ある限度額を計算した結果、「99,999.999…（無限に9）

"無限"を数学的に立証できればいいかと思います。
例えば、１÷９×９は１ですが、電卓では0.9999999....となります。無限性をいうには例えばこのように、電卓の計算アルゴリズムによる計算ミスというのが証明するのも一つの手かと。

１と0.99999（無限）が数学的に違うのかどうかは知りません（一緒という気がしますが）。

No.2 回答者： testman199 回答日時： 2013/07/18 08:36

>このような日常的な経済活動における計算結果というのは、誰が行っても同じように出るべきものでしょうから、

税率は方が優先であり、数学的正しさが求められるわけではありません。法に従い同じ結果が出れば問題ありません。

ちなみに、9.999999・・・は1とは違います。

>この他にも例えば「5万円以上10万円未満の場合は○○」、「10万円以上15万円未満は××」という具合にテーブルが階段式の場合
税率などは極端に変わることはありません。
「5万円以上10万円未満の場合は10％」、「10万円以上15万円未満は20%」となっている時の12万円にかかる税金は、
（10万×0.1）＋((12万-10万)×0.2)=1.4万円ですね
決して、2.4万円ではありません。

No.1 回答者： maiko0318 回答日時： 2013/07/18 08:07

数学上で、とありますので、数学上は1と0.9999999999は違うものです。