大学のレポートで困ってます。
"一様な薄い正三角形の板(質量 M 一辺の長さ a)の重心を通り、板に垂直な直線をz軸として、x,y,z軸に対する慣性モーメントを求めよ"
という問題です.
どうかよろしくご教授願います。

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A 回答 (2件)

慣性モーメントを求めるには,基本的には定義どおりに和を取る,


あるいは積分するより仕方がありません.

Ix と Iy の方が Iz より計算は簡単ですよね.
x軸からの距離は √(y^2 + z^2) ですが,薄い板なんだから....

brogie さんのヒントの Iz = Ix + Iy はどういうときに成り立つのか,
そこらへんも確認してください.

この問題は慣性モーメントの計算としては標準的問題です.
慣性モーメントの定義はちゃんと理解しているでしょうか?
テキストなどで実際に慣性モーメントを計算している例題があると思いますが,
例題の内容は完全に消化しましたか?

brogie さんはうっかり正方形と書いちゃいましたね.
ヒントの内容には影響はありませんが...
揚げ足取りみたいで恐縮です.
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この回答へのお礼

早速回答ありがとうございます。
今、テキストを見てみるとできました。
例題も載っていたので、案外簡単にできました。
ありがとうございました。

お礼日時:2001/05/28 23:03

 正方形の中心を通り、板の面に、辺に平行にx軸、y軸をとると、z軸は板に垂直になります。



それぞれの軸の周りの慣性モーメントをIx、Iy、Izとすると

Iz = Ix + Iy

でしたネ?

Ix、Iyは比較的簡単に求まります。自分で求めてください。
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質量がM、長さが2aの棒の慣性モーメントは重心がどこにあっても1/3Ma^2ですか?違ければこの場合の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~2a]です。

"重心がどこにあっても"というのは、密度が一様でない
ことに相当しますけど、そのときはρ(r)が与えられる
はずです。そしたらI=∫ρr^2drで計算できます。
このrは、回転軸からどれだけ離れているか、をあらわすものです。回転軸から距離rのところの
微小質量ρ(r)drに、r^2をかけて、それをすべての領域
で加え合わせたものというイメージです。

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
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Q慣性モーメントと平行軸の定理

お世話になります。

円板があり円の中心が重心となる、その重心を軸とする慣性モーメントをIとします。

例えば、円板の製造の段階で何かしらのミスがあり、
同じ形、質量でありながら重心が円の中心とはずれてしまった場合、
そのずれた重心を軸とする慣性モーメントはIとは異なりますか?

平行軸の定理とは、
重心を軸とする慣性モーメントを基準として、重心と回転軸がどれだけ離れているかを
考慮したときのみの定理でしょうか

ずれてしまった重心を軸とする慣性モーメントを求めたいです。

Aベストアンサー

当然、両者は異なります。

「平行軸の定理」とは、重心以外の回転軸での慣性モーメントが
  I = Ig + Md^2
  Ig:重心周りの慣性モーメント、M:質量、d:回転中心と重心との距離
で表わされるということです。

 質問文でお示しのようなケースでは、円板の幾何学的な中心を回転軸とし、実際の重心が R だけ離れた位置にあれば、円板の質量を m として、慣性モーメントが
  Is = Ig + m*R^2   (1)
となるということです。
 正しく作られた円板の慣性モーメント I は、Ig とも Is とも違いますし、この場合の Ig は単純には求まらないと思います。

 なお、「平行軸の定理」を使えば、正しく作られた円板(円板中心が重心、慣性モーメント I0 )を、円板中心から微小距離 R の点を中心に回転させれば、その慣性モーメントは
  IR = I0 + m*R^2    (2)
ということになります。

 極めて荒っぽい近似として、重心位置が R だけズレてこの回転中心に一致したときにも、この重心は円板の幾何学的中心ではないので質量の偏りがあり、重心周りの回転の慣性モーメントは I0 よりは IR に近いと仮定すると(少なくとも、元の「I0」からはかなり変わっているはず)、
  Ig ≒ I0 + m*R^2
といえるかもしれません。
 ただし、あくまで「荒っぽい近似」ということです。

 その場合には、質問文でお示しのようなケースの「重心がずれた円板の中心を軸にした回転の慣性モーメント」は
   Is ≒ I0 + 2m*R^2
ということで、これまた荒っぽい近似です。

 他の回答者さんからは怒られそうですが。

当然、両者は異なります。

「平行軸の定理」とは、重心以外の回転軸での慣性モーメントが
  I = Ig + Md^2
  Ig:重心周りの慣性モーメント、M:質量、d:回転中心と重心との距離
で表わされるということです。

 質問文でお示しのようなケースでは、円板の幾何学的な中心を回転軸とし、実際の重心が R だけ離れた位置にあれば、円板の質量を m として、慣性モーメントが
  Is = Ig + m*R^2   (1)
となるということです。
 正しく作られた円板の慣性モーメント I は、Ig とも Is とも違いますし、この...続きを読む

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現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
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ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
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>xy平面に一様に電荷が存在したときのz軸上の静電ポテンシャルをガウスの法則を使わないで求めることは出来るでしょうか?
本当にガウスの法則を使わないのなら、そもそも電位分布が1つに定まらないのでポテンシャルが求まるわけがありません。


>しかし解説が省略されていて、Ax=-μK|z|/2となっていました。でも僕が解くとどうしてもzの2乗が出てきてしまいます。
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質問として、分かりづらい所があるので、確認させて下さい(^^;)
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