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連立方程式の解について
y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=-x+4・・・・・・・・・(2)
(1)に(2)を代入して
2x-2=-x+4
2x+x=4+2
3x=6
3x-6=0..........(3)
この式(3)の解が
(1)と(2)の交点のxになる理由がうまく理解できなかったのですが
これは
「3x-6=0」となる前の「2x-2= -x+4」 という式が「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
この式から求められるxが
直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
交点のxになる ということでしょうか?
もしそうであれば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が 直線0xのy と同じになる時のxの値」
ということでしょうか?
よろしくお願いします。
No.6ベストアンサー
- 回答日時:
「連立」の意味がよく分かれば、疑問点は晴れると思います。
y=2x-2 …… (1)
y=-x+4 …… (2)
方程式(1)は、傾きが+2で、切片が-2〔つまり、(0,-2)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,-2)(1,0)(2,2)(3,4)…と無限にあります。
同じように、方程式(2)は、傾きが-1で、切片が+4〔つまり、(0,+4)を通る〕の直線ですね。そして、この式を満たす点は(0,4)(1,3)(2,2)(3,1)…と、これも無限にあります。
方程式(1)も(2)も、個別に満たす点はいっぱいありますが、この両方を同時に満たす点は1つしかありません。すなわち、それはこの両直線が交わるところです。
それを求めるためにはどうするかと言うと、方程式(1)と(2)とを「連立」させるわけです。連立させる方法は、代入法や加減法がありますが、どれで解いても結果は同じはずです。
質問者様は代入法で解いたので、ここでは加減法でやってみましょう。
(1)から(2)を引くと、
0=(2x-2)-(-x+4)
3x-6=0
x=2
と、このように同じ解が出ます。これを(1)に代入すれば、
y=2
が得られます。
つまり、座標(2,2)が、方程式(1)と(2)とを「連立」させて解いた解である。すなわち、方程式(1)と(2)を同時に満たす点である。さらにすなわち、両直線の交点である、ということになるわけです。
以上、ご回答まで。
No.5
- 回答日時:
> これは
> 「3x-6=0」となる前の「2x-2= -x+4」 という式が」
> 「直線2x-2のyと-x+4のyが同じになる時」ということを表していて
> この式から求められるxが
> 直線2x-2のyと直線-x+4のyが同じになる時のxの値」を表しているから
> 交点のxになる ということでしょうか?
ちょっと待った。
計算に苦手意識のある人は、そういう風に「意味」を追求しがちですが、
あまりオススメの考え方ではありません。
方程式を同値性を保って変形してゆき、(x=定数 かつ y=定数) という
式形へ持ってゆくだけだ…と考えたほうがいい。
代数の計算は、意味ではなく、形式で進めてゆくべきものです。
No.4
- 回答日時:
少し考え方が逆になっているようなので
連立方程式の前に、それぞれの方程式について理解を深めておきましょう。
方程式、この場合は関数とは、ふたつの未知数の間の関係を示す物です。
y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
は、y+2 = 2x と変形できて、(y+2)がxの2倍に比例すると言う意味です。
これを分かりやすく、x横軸y縦軸のグラフにすると、右肩上がりの直線で表されます。x=0,すなわちy軸との交点は、(0,-2)
【重要】二つの式が互いに独立しているとき
xの値(α)とそれによって決定されるyの値(β)が同じになるところがあるということは、グラフで表せば平行ではなく、一点で交差していることを示します。すなわち、点(α,β)で両方の式が共に成り立つというです。
★ここからが重要!!
もし両方の式が同時に成り立つ点があるとすると、そのときのxの値とyの値は、両方の式で同じにならなければならない。
これがあるから、連立方程式が解けるのです。
そう考えると、どのように手法で解いても答えは出るはずです。
数学への興味はすばらしい物がありますね。しかし、以前の質問からずうっと心配なのですが、数(すう)に対する基本的な概念が出来ていないようです。今は、それで何とか先に進めますが、将来、壁に突き当たるような気がします。
この様な解き方もあります。
y=2x-2 ・・・・・・・・・・(1)
y=-x+4・・・・・・・・・(2)
変形して
-2x + y = -2
x + y = 4
x,yの位置は決まったので
-2 1 = -2
1 1 = 4 (1)式を引く・・
1 1 = 4
-)-2 1 = -2
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
3 0 = 6
-2 1 = -2
3 0 = 6 ×(1/3)
-2 1 = -2 2倍した(2)式を加える
1 0 = 2
0 1 = 2
1 0 = 2
よって
y = 2
x = 2
No.3
- 回答日時:
先般、同じような質問がありました。
今回は、意味を簡単に説明しておきます。・直線の交点の座標から見る
(1)の直線の上にある点の座標( x, y )は必ず直線上にある点だということです。(2)も同様です。この2つの交点は、同じ座標の点であるといえます。
・連立方程式から見る
(1), (2)式を連立方程式とみれば、両方の式を満足させるx, y の値が解になります。
よって、直線の式の交点の座標=連立方程式の解と考えてよい。詳細は、NHK高校生講座数学IIのURLで「学習メモpdf」を参考に理解を深めてください。http://www.nhk.or.jp/kokokoza/radio/r2_math2/arc …
No.2
- 回答日時:
計算式は小学生レベルですが、その式が意味するところに疑問を持てるのはいい事です。
まず、(1)のグラフはxとyが式の通りの関係を持つ点の集合体なのです。
それが直線にたまたまなっているだけの事です。(2)についても同じ事です。
ただ、(1)と(2)を同時に満たす点が一つなのはグラフを描けば明白なように、
確かに存在します。
まあ、それだけの事やね。
>>もしそうであれば
2x-2=0で求められるxは
「直線2x-2のy が 直線0xのy と同じになる時のxの値」
ここだけ正確さが欠けるので、熟慮を求めます。
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