積分の問題の途中式を教えていただけないでしょうか？

kを自然数とする。このとき、
∫(k→k+1)1/x^3dx<1/k^3<∫(k-1→k)1/x^3dx
を示せ。


よろしくお願いします。

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/11/23 22:09

＞取り敢えず左半分についてです。

左辺を普通に積分して∫(k→k+1)1/x^3dx=[(-1/2)x^(-2)](k→k+1)
=(1/2)(2k+1)/k^2(k+1)^2。
これと1/k^3との差をf(k)とすると、
f(k)=1/k^3-(1/2)(2k+1)/k^2(k+1)^2=(1/k^2){1/k-(1/2)(2k+1)/(k+1)^2}
=(1/2k^2){2/k-(2k+1)/(k+1)^2}
=(1/2k^2)(3k+2)/k(k+1)^2=(1/2k^2)g(k)とおくと
g(k)=(3k+2)/(k^3+2k^2+k)
g'(k)={3(k^3+2k^2+k)-(3k+2)(3k^2+4k+1)}/(k^3+2k^2+k)^2
=-(6k^3+12k^2+8k+2)/(k^3+2k^2+k)^2=h(k)/(k^3+2k^2+k)^2とおくと
h(k)=-(6k^3+12k^2+8k+2)
h'(k)=-18k^2-24k-8
h'(k)=0の解は{24±√(24^2-4*18*8)}/(-36)=-2/3だからh'(k)は
点(-2/3,0)を極大点とする上に凸の二次曲線でありh'(k)≦0。
よってh(k)は減少関数でh(1)=-28だからk≧1でh(k)＜0、すなわち
g'(k)＜0でg(k)は減少関数である。g(1)=5/4、lim(k→∞)g(k)
=lim(k→∞)(3/k^3+2/k^3)/(1+2/k+1/k^2)=0だからk≧1でg(k)＞0、
でf(k)＞0となり1/k^3＞(1/2)(2k+1)/k^2(k+1)^2=∫(k→k+1)1/x^3dx。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/11/24 00:06

　∫(k→k+1)1/x^3dx=∫(k→k+1)x^(-3)dx=[(-1/2)x^(-2)](k→k+1)=(1/2){1/k^2-1/(k+1)^2}

　∫(k-1→k)1/x^3dx=∫(k-1→k)x^(-3)dx=[(-1/2)x^(-2)](k-1→k)=(1/2){1/(k-1)^2-1/k^2}
なので

(1/2){1/k^2-1/(k+1)^2}<1/k^3<(1/2){1/(k-1)^2-1/k^2} (kは自然数)　...(※)

を示せばよい。

1/k^3-(1/2)(1/k^2-1/(k+1)^2)=(3k+2)/(2k^3*(k+1)^2)>0 (∵k≧1)
　∴(1/2){1/k^2-1/(k+1)^2}<1/k^3
(1/2){1/(k-1)^2-1/k^2-1/k^3=(3k-2)/(2(k-1)^2*k^3)>0 (∵k≧1)
　∴1/k^3<(1/2){1/(k-1)^2-1/k^2}
よって(※)が成り立つ。