上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

「ばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギ」の質問画像

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A 回答 (3件)

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。



■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/294311 …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。読んだらよく理解できました。基準点の理解が足らず、=0を単純に無いととらえていたことが原因だったようです。分かりやすいです。

お礼日時:2014/05/11 16:24

タイプミス訂正



「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。」

「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの基準点(ばねの自然長)に対する変位は0で、mgx0となっています。」

の間違い。


位置エネルギーの基準をどこにとるかにかかわらず、二つの状態の物体の位置的な変異以外に由来する位置エネルギー(先の例ではmgH)は、エネルギー保存則を考慮すると相殺されるので、計算上意味をなさない。つまり、力学的エネルギー保存則を考えるときには、位置エネルギーの基準はどこにとってもいいことになり、解答では基準をばねの自然長にとっているというだけです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。この回答も一緒に読ませてもらい理解することができました。勉強が止まりかけていたため非常に助かりました。

お礼日時:2014/05/11 16:27

》しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?


いや、左の図に物体を付けて、その状態を維持するように支えている時の全力学的エネルギーです。だから、左辺の式の運動エネルギーと位置エネルギーには質量mが考慮されています(速度が0、位置的な変位も0なのでmは意味をなさないが)。
ばねと物体を含めた全系のエネルギー状態を見ているわけですから、物体も含めなければつじつまが合わなくなります。


》それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
》物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
》なのに0と等しいなんてわかりません。
位置エネルギーはどこに基準をとるかによって変わりますから、ここでの全エネルギーが0というのは便宜的なものです。この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。たとえば、基準を地面にとって、ばねが自然長にある時の物体の地面からの位置をHとすれば、式は
mg×H + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a + H) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2
となり、全力学的エネルギーは0ではなくなります。が、mgHの項は、相殺されるので意味を計算上は意味をなさなくなります。
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私の地元は当然『金沢文庫』のほうなのですが、他の地域はもちろん『学級文庫』のほうかとおもいきや、どうも横浜近郊以外でも『金沢文庫』になっているところがあるようなのです。

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(2)帰りは、6時~7時に大手町を出ますが、大手町から金沢文庫まで座って帰れるでしょうか?また座って帰るコツなどはありますか?
(3)三田での京急線と都営三田線の乗り換えはスムーズでしょうか?
(4)金沢文庫から大手町の通勤は一時間ほどですが、一時間の通勤はやはりキツイものでしょうか?京急線利用の場合はどうでしょうか?(個人差はあると思いますが)

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>(1)金沢文庫駅を朝9時に出発するとしたら(出社時間が少し遅いため)大手町までずっと座っていけるでしょうか?

この時間帯になると、都営三田線に乗換え出来る三田までそのまま直通する特急列車では、空車増結が終わっていて、混雑しており座ることは出来ません。
快特列車は増結の無い青砥行きや高砂行きは混んでいますし、後ろに空車4両増結する列車は品川止まり。
品川で接続列車は大変混み合いますので、着席は期待出来ない環境になります。
出来るとすれば、立っていて目の前の人が降車駅なので座席が空く、
そういう環境になります。




>(2)帰りは、6時~7時に大手町を出ますが、大手町から金沢文庫まで座って帰れるでしょうか?また座って帰るコツなどはありますか?

大手町⇒三田の都営三田線に付きましては、運次第。
春日や神保町より手前の大手町からなので、朝の時と同じく運次第になってしまいます。
それこそ、始発の西高島平や車庫があり始発列車もある高島平辺りまで行かないと、確実には着席出来ません。

三田⇒品川に付きましても、座るのは運次第。途中の泉岳寺で目の前の座っている人が立たない限りは座れません。

ただ、品川⇒金沢文庫に付きましては、
○品川始発で12両編成「快特」が20分に1本ある。
○品川始発で「ウィング号」が20分に1本ある。(※ 別途200円必要)
上記の2列車を使えば座れます。
ウィング号に付きましては、携帯電話から指定列車の予約が出来ます。
京急の公式HPを参照して下さい。




>(3)三田での京急線と都営三田線の乗り換えはスムーズでしょうか?
一番乗り換え距離が短いのは、
三田駅での、
「都営三田線」の最も日吉・白金高輪寄り車両⇔「京急線(都営浅草線)」の日本橋・浅草・青砥・高砂寄り車両です。
乗り換え時間は3分と掛かりませんので、車両を選べば非常に短い時間で乗換え出来ます。




>(4)金沢文庫から大手町の通勤は一時間ほどですが、一時間の通勤はやはりキツイものでしょうか?京急線利用の場合はどうでしょうか?(個人差はあると思いますが)

感覚によるものなので、判断が難しいと思います。
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混雑に付きましては、東京の、それも都心のど真ん中に向かう内容なので、どの路線を選んでも混んでいることには変わりません。
もしキツイようでしたら、朝の通勤時間をずらすなどの方法が必要になってくるかも知れません。
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弾性力学(弾性論、連続体の力学)を独習しようとしているのですが、初心者には敷居が高く、難しいです。ページ数が多くても解説がやさしく、例題やその回答が親切なものなら、値段にはこだわりませんので、誰か教えてください。以下の本は見てみました。
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ソファーの「コイルスプリング(コイルバネ)」が折れてしまいました。修理しようと思って、ホームセンターをいくつかあたったり、ネットでもネジメーカーに問い合せたりしたのですが、見つかりませんでした。

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燃えないゴミとして収集されたソファー・ベット類は、集積場でスポンジと金属類に分別しています。

もちろん無料で頂けるはずです。

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滑らかな水平面上に質量Mの球Qがばね定数kのばねを付けられた状態で置かれている。左から質量mの球Pの速度vを求めよ。

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ばねの上におもりが乗せて手を離す。物体の速さが最大になるのは、はじめの高さからいくら下がったところか。という問です。
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どっから来たかわかる方がいましたら教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

0=-mgx+1/2mv^2+1/2kx^2 
移行して
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1/2mv^2=yとおくと
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