上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

「ばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギ」の質問画像

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A 回答 (3件)

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。



■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/294311 …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。読んだらよく理解できました。基準点の理解が足らず、=0を単純に無いととらえていたことが原因だったようです。分かりやすいです。

お礼日時:2014/05/11 16:24

タイプミス訂正



「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。」

「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの基準点(ばねの自然長)に対する変位は0で、mgx0となっています。」

の間違い。


位置エネルギーの基準をどこにとるかにかかわらず、二つの状態の物体の位置的な変異以外に由来する位置エネルギー(先の例ではmgH)は、エネルギー保存則を考慮すると相殺されるので、計算上意味をなさない。つまり、力学的エネルギー保存則を考えるときには、位置エネルギーの基準はどこにとってもいいことになり、解答では基準をばねの自然長にとっているというだけです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。この回答も一緒に読ませてもらい理解することができました。勉強が止まりかけていたため非常に助かりました。

お礼日時:2014/05/11 16:27

》しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?


いや、左の図に物体を付けて、その状態を維持するように支えている時の全力学的エネルギーです。だから、左辺の式の運動エネルギーと位置エネルギーには質量mが考慮されています(速度が0、位置的な変位も0なのでmは意味をなさないが)。
ばねと物体を含めた全系のエネルギー状態を見ているわけですから、物体も含めなければつじつまが合わなくなります。


》それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
》物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
》なのに0と等しいなんてわかりません。
位置エネルギーはどこに基準をとるかによって変わりますから、ここでの全エネルギーが0というのは便宜的なものです。この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。たとえば、基準を地面にとって、ばねが自然長にある時の物体の地面からの位置をHとすれば、式は
mg×H + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a + H) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2
となり、全力学的エネルギーは0ではなくなります。が、mgHの項は、相殺されるので意味を計算上は意味をなさなくなります。
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これって、全国的に知られていると思うのですが、その言葉が『学級文庫』と『金沢文庫』のふたつの流派があります。
私の地元は当然『金沢文庫』のほうなのですが、他の地域はもちろん『学級文庫』のほうかとおもいきや、どうも横浜近郊以外でも『金沢文庫』になっているところがあるようなのです。

『金沢文庫』というのは確か小学校の社会科の教科書にでてきたような気がしますし、全国放送のテレビで『金沢文庫』の方で上記のネタがでてきたりしたので、たしかに全国的に『金沢文庫』でこのネタが言われている可能性は十分にあると思いますが、、、

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くだらない質問ですが、よろしくお願い致します。

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Q鉛直運動での、ばねのエネルギーと位置エネルギー

天上にばね(ばね定数k)をつけ、その先に物体A(質量m)をつけ、下から物体Bをぶつけ、鉛直上向きにAを運動させた。衝突の瞬間のAの速度は上向きにVであり、Aは最大どこまで上るか?という問題で、エネルギー保存を考えたんですが、僕はその時、hまで上がると仮定し、
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1/2mv2=1/2kh2
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(1/2)kh2としたときの基準の取り方が問題になっています。
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貴方のやり方でやってみます。
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ぶら下がっているときの伸びをaとします。その状態からhだけ上に上がることになります。釣り合いの式はmg=kaです。
エネルギー保存の式は
(1/2)mv2+(1/2)ka2=mgh+(1/2)k(h-a)2
です。mg=kaを代入して整理すると
(1/2)mv2=(1/2)kh2
になります。

回答はいきなりこの式を出しているようですね。その場合は伸びている位置を自然長に読みかえています。その場合は重力は現れてきません。それを示してみます。
仮におもりが元の位置のxだけ下にあるとします。運動方程式は下向きを正にとると F=mg-kx です。これに mg=ka を代入します。
F=ーk(x-a) になります。
これは単振動の式です。変位は元の位置からではなくて釣り合いの位置からのものです。重力は消えています。
このバネを水平に置いて振動させるときは自然長からの伸びで考えますがぶら下げたときは釣り合いの位置から伸びを考えればいいということになります。
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(フロント)
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400÷40=10
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楽しいことなので、がんばって計算してみてください。

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Qバネの力学的エネルギーの問題なのですが

明日テストなのですが、先生に質問しても解説してくれなかったので困ってます。


m[kg]のおもりをつるすとL[m]伸びるつるまきばねがある。
このおもりをつけたまま鉛直につるし、ばねを自然の長さにもどし、支えていた手を離す。
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(1)ばね定数はいくらか

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お時間があれば答えてやってください。

Aベストアンサー

No.1 に完璧な回答が出ていますが、
少し補足させてください。
微積を使わない高校物理のスタンスに則した解法です。
さて、

(1)は何も補足はありません。

(2)ですが、エネルギー保存の式を立てて解きます。
図の(A)は自然長の位置、(C)は最下点です。

  (A)のとき: 運動E = 0, 位置E = 0, 弾性E = 0
  (C)のとき: 運動E = 0, 位置E = -mgy1, 弾性E = k(y1)^2/2

です。最下点では速度が0になっているのがポイントです。
『(A)での力学的E = (C)での力学的E』とすればよいので、

  0 = -mgy1 + k(y1)^2/2
   ⇔ y1 = 2L

と簡単に求まります。ただし(1)の答え k = mg/L を使っています。
次に(3)ですが、これはイメージの問題です。
結論から言うと、

  『最高速点は、力の釣合いの点』です。

なぜなら、合力が下向きのときは物体は下向きに加速を続け、
そのうち力の釣合いの点まで到達します。
ここを超えると、今度は合力が上向きに変わって減速が始まるので、
結局、釣合いの点で最高速ということになります。

これはもう計算などいりません。
釣り合いの点は問題文に書いてあります。

  y = L

です。単振動の考えでいけば、この点は『振動中心』です。
振幅は当然 2L - L = L となります。

########

微積を使わないとこんな感じになります。
本来なら No.1 の方のように【微分方程式】の形の運動方程式を解いて
運動の様子を記述するのが理想です。
(どちらかというと微分するのではなく積分します。)

No.1 に完璧な回答が出ていますが、
少し補足させてください。
微積を使わない高校物理のスタンスに則した解法です。
さて、

(1)は何も補足はありません。

(2)ですが、エネルギー保存の式を立てて解きます。
図の(A)は自然長の位置、(C)は最下点です。

  (A)のとき: 運動E = 0, 位置E = 0, 弾性E = 0
  (C)のとき: 運動E = 0, 位置E = -mgy1, 弾性E = k(y1)^2/2

です。最下点では速度が0になっているのがポイントです。
『(A)での力学的E = (C)での力学的E』とすればよいので、

  0 = -mgy1 + k(y1...続きを読む

Q(転職)落ちた企業に再チャレンジできるものでしょうか?

以前(かれこれ3年以上前)、転職活動の結果落ちてしまった企業があります。当時だけでなく、現時点で考えても面白い取り組みを行っている全国規模の会社です。
この会社に対して、再度、転職の応募をすることって一般的に認められているものなのでしょうか。
ちなみに、この3年間の私自身の経験も活かしていきたいため、応募部門(部署?)は以前とは違う部門になります。
落選してしまったことをバネに経験を積んだこと、違う部門への応募、認められるものでしょうか。

Aベストアンサー

前回採用されなかった理由をあなたなりにキチンと分析できていて、
その理由をこの3年間で超克できたと説明できるなら、
応募する価値は、一応あると思います。

違う部門への応募は、一長一短ですね。
違う部門だから、再チャレンジの価値があるともいえますが、
見方を変えれば、「たった3年で方向転換してしまった人」とも見えます。
方向転換の理由もキチンと説明できないとまずいでしょうね。

ただ、再応募は法律で禁じられているわけでもないですから、
常識の範囲で応募していいと思いますよ。

3年のブランクがあるなら、常識的にも問題ないでしょう。

応募の書類に、前回の経緯と3年間のあなたの経験や
気持ちの変化、やる気について記載したものを同封するといいでしょう。

Qばねの仕事と弾性エネルギーの関係について

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
・ばねが外にした仕事=弾性エネルギーの減少分

というのを習ったのですが、これでつまづいてしまいました。


ばねの先端に質量mのおもりPを取り付け、他端を天井に取り付け、全体を吊り下げて静止させた。重力加速度の大きさをg、ばね定数をkとする。

この状態からPに下向きの力を加え、ゆっくり距離aだけ引き下げ、ここで手でおさえておく。この間のばねの弾性エネルギーの増加量をUとする。
このときPに下向きに加えた力が物体Pの下方の変位の間にした仕事をWとすると、Wはいくらか?

正解
W=-mga+U

とあったんですが、なぜ上で書いたようにいかないのでしょうか?実際に力学的エネルギー保存でやるとこうなるのはわかったのですが、「仕事=弾性エネの増加」という関係にたどりつかないのがわかりません。結果から見て位置エネルギー(-mgaという)が入ってるわけですから、上で書いたことは必ずしも成り立たないということでしょうか?アドバイスよろしくおねがいします。

Aベストアンサー

・ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事=ばねの弾性エネルギーの増加分
「ばねを伸ばす(縮める)のにした仕事」ですよね?
この場合地面垂直方向にPを動かしてやったのだから
Wは「ばね」だけにした仕事ではないです。
ばねに仕事をしないと、ばねはエネルギーを吸収も放出もしないです。
たとえば1つのばねがあり、それとは別の位置にコップ一杯の水が有ったとします。
今水にW=100ジュールの熱を加えたとき、ぜんぜん関係の無いばねがその100ジュールを吸収するでしょうか?
-mgaはPの位置を変えるのに使われたエネルギーであってばねはまったく関係ありません。
ばねを水平に置いて同様のことををすると位置エネルギーが変わらないので、「仕事=弾性エネの増加」となりますが(空気抵抗その他無視でですけど)

Q[物理I] バネにはたらく力

たとえば,バネ定数が 10(N/m) の,軽いバネがあったとします。
このバネの一端を天井に固定し,もう一端に10Nの重りをつりさげたとします。
すると,『バネは10Nの弾性力を生じるから』フックの法則を用いて,バネの伸びを計算すると,
  10(N/m) ÷ 10(N) = 1(m)
となり,バネは1m伸びることになります。

以下,私が疑問に思ったことです。

バネが受ける力は,「重りがバネを引く力 10N」のほかに,「天井がバネを引く力 10N」もあるはずです。
つまり,バネは合計20Nの力を受けていることになると思います。
よって,バネの弾性力も20Nになるのではないか,と思ってしまいます。

しかし,実際には弾性力は10Nで,結局バネは1mしか伸びません。
どうしてこの考え方は正しくないのでしょうか。

お願いいたします。

Aベストアンサー

私は20Nの力がかかっているでいいと思いますよ。

質量mの重りを吊るしたときにa伸びるバネを連結してmを吊るすことを考えてください。
このときは、それぞれのバネがa伸びて全体では2a伸びるので全体としてのバネ定数が元の半分になります。
上側のバネもa伸びているということは、下のバネは上のバネをmgの力で引いているということで、
したがって、その反作用で、上のバネは下のバネをおなじmgの力で引かなければなりません。
ということは、下のバネは上のバネからmgの力で引かれ、下にある重りからmgの力で引かれ、都合、2mgの力がかかっています。

したがって、上側をばねではなく天井にした場合でもバネは天井をmgの力で引き、その反作用で天井がバネをmgの力で引いているはずです。

>どうしてこの考え方は正しくないのでしょうか。

バネの力の式F=-kxは、x伸びたときに「片側を」F[N]の力で引くことを表した式と理解すればいいのではないかと思いますが。

実際に実験したことはありませんが、バネ定数kのバネの両側にバネばかりをつけて引っ張ったら、
両方のバネばかりがkxに等しい値を示すはずですよ。

また、バネで連結した二つの質点の運動方程式が

m d^2 x1/dt^2 = -k(x2-x1)
M d^2 x1/dt^2 = +k(x2-x1)

になるというのは、まさにそういうことを表していると思います。
バネの両端にある二つの質点を同じ大きさk|x2-x1|の力で引いているということですから。

私は20Nの力がかかっているでいいと思いますよ。

質量mの重りを吊るしたときにa伸びるバネを連結してmを吊るすことを考えてください。
このときは、それぞれのバネがa伸びて全体では2a伸びるので全体としてのバネ定数が元の半分になります。
上側のバネもa伸びているということは、下のバネは上のバネをmgの力で引いているということで、
したがって、その反作用で、上のバネは下のバネをおなじmgの力で引かなければなりません。
ということは、下のバネは上のバネからmgの力で引かれ、下にある重りからmgの力で...続きを読む

Q単振動の力学的エネルギー保存

つりあいの位置を基準にすると、重力による位置エネルギーを無視しすることができる理由がわからなかったので
http://okwave.jp/qa631820.htmlを参考に図や式を書いて自分なりに考えて見ましたが
回答が微分を使っていて結局わかりませんでした
微分を使わずにもう少し低いレベルから理由を説明するとどんな風になるのでしょうか?

Aベストアンサー

力学的エネルギー保存則(自然長の位置が原点)
mv^2/2+kx^2/2+mgx=一定
を眺めると困ったことにxが1箇所に集まってません。
ということで平方完成をしてみましょう。
それで得られる式は
mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
の形になります。ここで
y=x+α・・・(*)
とすれば
mv^2/2 + ky^2/2-(mg)^2/(2k)=一定
となります。第3項は定数なので
mv^2/2 + ky^2/2=一定
とできます。

さらに静止時の力のつりあいより
(*)がつりあいの位置を原点とした座標に変換していることがわかります。

もどって(☆)を3分くらい見つめてみましょう。
第2項と第3項の和は、上下に動くことによる位置エネルギー+定数となっていますが、
もともとは弾性エネルギー+重力による位置エネルギーとなっていたはずです(最初の式)。
だけど変数1箇所で考えることができる前者のほうが便利なはずです。
だからわざわざ、つりあいの位置を原点とした座標をもってくる訳です。
そのとき上下運動による位置エネルギーが弾性エネルギーに似てるから
重力を無視しているかのように見えたのでしょう。

正確に言えば、つりあいの位置を中心とすれば
復元力がつりあいの位置からの距離に云々(#3最後の段落)。

なお(*)のように変数変換してもエネルギー保存則が成り立つのは
dy/dt=d(x+α)/dt=dx/dt+dα/dt=dx/dt
だからです。
どこから観測しても速度は同じ、というふうに考えていいでしょう。

力学的エネルギー保存則(自然長の位置が原点)
mv^2/2+kx^2/2+mgx=一定
を眺めると困ったことにxが1箇所に集まってません。
ということで平方完成をしてみましょう。
それで得られる式は
mv^2/2 + k(x+α)^2/2-(mg)^2/(2k)=一定・・・(☆)
の形になります。ここで
y=x+α・・・(*)
とすれば
mv^2/2 + ky^2/2-(mg)^2/(2k)=一定
となります。第3項は定数なので
mv^2/2 + ky^2/2=一定
とできます。

さらに静止時の力のつりあいより
(*)がつりあいの位置を原点とした座標に変換していることがわかります...続きを読む

Q金沢文庫 増設列車の混雑について

京急本線の金沢文庫駅で朝の通勤時間帯に増設列車があることを知り、金沢文庫への引越しを検討しています。

座るためには混む時間帯だと何本か待つ必要があると聞きました。
増設列車に乗って座るためには何本くらい待つ必要があるでしょうか?
金沢文庫の発が7時、7時半、8時、8時半のそれぞれの時間帯の状況が知りたいです。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

はじめまして。
電車運転士をしております。

朝のラッシュ時は金沢文庫駅で、全ての「快特」「特急」において空車4両を増結しています。

「特急」は、快特が時刻表に出てくる時間帯までは、横須賀方面から来た8両の後ろに4両。
快特が現れる時間帯になりますと、今度は前に増結し、12両編成にしています。

「快特」は逆に後ろに4両増結しています。

それぞれ10分に1本の運行。
「快特」と「特急」を合わせると、交互の5分間隔になります。

待ち列ですが、「次発増結車」までは並びますが、「次次発増結」までは並びませんので、10~15分ほど列で待てば、座って通勤できます。
時間帯によっての差は、正直少ないです。
増結車に乗る方は、横須賀方面などから普通電車で乗り換えてくる方か、本編成(8両)から乗り移ってくる方が多く、また、「快特」や「特急」は必ずこの駅で増結するので、時間帯の差がつき難いのです。

10~15分待てば大丈夫と思っていただければと思います。

Qばね振り子の力学的エネルギーの証明

ばね振り子の振動中の任意の一点と自然長でのばね振り子の力学的エネルギーが等しいことを証明しようと思うのですが、うまくいきません。
外力が働かないため、力学的エネルギー保存則が成り立っているといえばそれまでなのですが、そうではなく、実際に計算によって確かめたいのです。

ばね定数kのばねに重さmの重りをぶら下げた時の釣り合いの位置をd(つまり、mg=kd)とする。
自然長(×つり合いの位置)Oでの速さをv0、任意の点Yでの速さをv、長さをyとすると、力学的エネルギー=運動エネルギー+重力の位置エネルギー+弾性エネルギーより、
E(Y)=mv^2/2+mg(y-d)+k(y-d)^2/2
E(O)=mv0^2/2+0+0

よって、
E(O)-E(Y)=m(v0^2-v^2)-(mg(y-d)+k(y-d)^2/2)
=……
などと計算を続けたのですが、自分ではうまく0にできません。

どなたか模範回答をご教示ください。どうかよろしくお願いします。

Aベストアンサー

すべてをきちんと説明しようとすると、運動方程式を解いてやらなければなりませんが、ここでは、おもりは、釣り合いの高さを振動の中心とする単振動すること、単振動の公式から、位置(高さ)y座標と速度vはわかっているものとして進めることにしましょう。
質問者さんが高校生なら、これで十分でしょう。
 
原点位置を振動の中心とする単振動は
y=d・sinωt  (ア)
v=dω・cosωt (イ)
と書けます。
ここで、角振動数ω=√(k/m)です。 (ウ)
また、釣り合いの位置の情報から
mg=kd  (エ)
 
以上が準備。
添付図(必ず図を描くようにしましょう!)を見ながら、エネルギーを数式化します。
重力による位置エネルギーU
U=-mg(d+y)
弾性力による位置エネルギーUk
Uk=(1/2)k・(d+y)^2
運動エネルギーK
K=(1/2)mv^2
ですから
力学的エネルギーEは
E=-mg(d+y)+(1/2)k・(d+y)^2+(1/2)mv^2
これに、(ア)~(エ)を適切に代入します。
 
途中で出てくるω,kを(ウ)および(エ)を利用して、d,gで表すようにするとまとめ易くなります。変数tが残ってしまうことが心配でしょうが大丈夫、最終的には消えてしまいます。
三角関数の公式
(sinθ)^2+(cosθ)^2=1 
も使うようになるでしょう。
 
変形していくと、E=0 になりますよ。

すべてをきちんと説明しようとすると、運動方程式を解いてやらなければなりませんが、ここでは、おもりは、釣り合いの高さを振動の中心とする単振動すること、単振動の公式から、位置(高さ)y座標と速度vはわかっているものとして進めることにしましょう。
質問者さんが高校生なら、これで十分でしょう。
 
原点位置を振動の中心とする単振動は
y=d・sinωt  (ア)
v=dω・cosωt (イ)
と書けます。
ここで、角振動数ω=√(k/m)です。 (ウ)
また、釣り合いの位置の情報から
mg=kd  (エ)
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