上端を固定したばねに、質量mのおもりをつけた。おもりを自然長の位置から静かに下げていくと、のびがaのときにつり合った。重力加速度の大きさをg、重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置とする。
(1)つり合いの位置での力学的エネルギーをaを使って表せ。
(2)再び自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離したところ、
おもりはつりあいの位置を中心に上下に単振動をした。つりあいの位置でもおもりの速さを求めよ。
(3)ばねの最大の伸びはいくらか。

まず(2)から質問。回答では自然長とつりあいの位置で、力学的エネルギー保存の法則を使って

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2

となっていました。
この右辺は簡単に理解できます。つりあいの位置での全力学的エネルギーです。
しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

右辺は物体を付けた状態の時のエネルギーなのに、左辺はそもそも物体を付けてない時の状態の力学的ねるぎーです(とはいっても0ですが。)

これが解答である以上私が間違っているのですが、おかしいと思います。

つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。
それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
なのに0と等しいなんてわかりません。

次、(3)の問題です。回答では

ばねの最大の伸びをXとすると、最大の伸びのとき速さは0だから(わかる。)

mg×0 + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-X) + 1/2m×0^2 +1/2kX^2

右辺はわかります。最大の伸びのときの全力学的エネルギーです。

しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。
(2)と同じで、自然長の時は物体を付けていないから、弾性力のエネルギーも、位置エネルギーもないので、このときと最大の伸びのときの力学的エネルギーが等しいなんて思えません。
(状況が違うから。)

最後になりましたが、長々としたのはかなり自分も考えましたが、分からない部分がはっきりつかめないので、しつこく書いてみました。

解決して次の問題に行きたいと思っていますので、物理に自身のある方、この問題が分かる方
誰か教えてくれる方はおられませんか。
よろしくお願いします。

「ばねによる弾性エネルギーと力学的エネルギ」の質問画像

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A 回答 (3件)

数学(値)としての等しさと物理的状態の等しさを混同されているのが根本原因だと思います。



■質問者様の疑問その1 問題(2)
>しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?

 計算結果の総量が0になるので数値はそうなります。ただし、あくまで解答の左辺は真ん中の図のように重りを付けた状態で、自然長位置に来た時の式です。左の図の状態と「値」が等しくなってしまう「0」になるように条件を設定しているため混乱するのです。なぜ左の図と等しくなるのか。1つは「自然長の位置までおもりを持ち上げ、そこで急に手を離した」こと。2つ目は「重力による位置エネルギーの基準点を自然長の位置」としていること。
 摩擦や減衰を無視すると、このばねは永遠に自然長位置を頂点として振動を続けます。最頂点の位置に来た時、題意から変位は基準点のため0、速度も0、ばねの自然長からの変位も0になるので左辺の状態になります。この瞬間にサッと重りを取り除くと左の図の状態になります。しかし実際には重りが付いていますので、次の瞬間に重力によりばねが伸びていきます。ここが左の図と問題(2)中の重りが最頂点に来たときの違いです。瞬間的な値は等しいですが状態は異なります。

>つまり、力学的エネルギーの総量が一番左の図とつりあいの図では違うから、力学的エネルギー保存則が使えないと思ったのです。

 真ん中の図のばねに重りがついた状態での、自然長位置(最高点)とつりあい位置では保存則が成り立っています。
 瞬間的な値が同じになるだけで、左の図と真ん中の図の間ではエネルギー保存則は成り立っていません。重りの着脱には外力(この場合は人の手ですかね)が必要ですし、重りのない状態ではばねをaの位置まで伸ばすエネルギーは在りません。


■質問者様の疑問その2 問題(2)
>それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。なのに0と等しいなんてわかりません。

 この場合の(数字の0)≠(存在しない)です。ここが物理現象と式の間の分かりにくさですかね。ここではイコールで0になるのはつり合っていることを表しています。物体による位置エネルギーとばねの弾性力が反対向きにつり合っている状態です。(力学的エネルギー)=0と見ると分かりにくいのであれば、(重力による位置エネルギー+運動エネルギー)=(ばねの弾性力による位置エネルギー)と移項すれば分かりやすいでしょうか。

■質問者様の疑問その3 問題(3)
>しかしこれまた、左辺が自然長のときの全力学的エネルギーです(0ですが)。

これも問題(2)と同様です。数値的には0になりますが、あくまで左辺は重り付きの状態を示しています。



 私の説明で分かりにくければすみません。その時は基準点の位置を、重りを付けた時のつり合いの位置にするなど仮定を変更すると分かりやすいと思います。
 重りの有無に関係ない数値(変位や速度)が0になるので数学上0となり等しい状態に見えるだけで、重りの有無は明確な物理状態の違いです。逆に言えば、力学的エネルギーの保存則のある一状態だけでは運動系の全体状態を記述できないのです。
数値上納得できない場合、仮定を色々おきかえて記述してみると分かったりします(ex.基準点を変えたり)。

参考URL:http://blog.livedoor.jp/aritouch/archives/294311 …
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この回答へのお礼

ありがとうございました。読んだらよく理解できました。基準点の理解が足らず、=0を単純に無いととらえていたことが原因だったようです。分かりやすいです。

お礼日時:2014/05/11 16:24

タイプミス訂正



「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。」

「この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの基準点(ばねの自然長)に対する変位は0で、mgx0となっています。」

の間違い。


位置エネルギーの基準をどこにとるかにかかわらず、二つの状態の物体の位置的な変異以外に由来する位置エネルギー(先の例ではmgH)は、エネルギー保存則を考慮すると相殺されるので、計算上意味をなさない。つまり、力学的エネルギー保存則を考えるときには、位置エネルギーの基準はどこにとってもいいことになり、解答では基準をばねの自然長にとっているというだけです。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございました。この回答も一緒に読ませてもらい理解することができました。勉強が止まりかけていたため非常に助かりました。

お礼日時:2014/05/11 16:27

》しかし左辺、これは自然長つまりばねに物体を取り付けてない、図で言う一番左の状態の全力学的エネルギーですよね?


いや、左の図に物体を付けて、その状態を維持するように支えている時の全力学的エネルギーです。だから、左辺の式の運動エネルギーと位置エネルギーには質量mが考慮されています(速度が0、位置的な変位も0なのでmは意味をなさないが)。
ばねと物体を含めた全系のエネルギー状態を見ているわけですから、物体も含めなければつじつまが合わなくなります。


》それに、つりあいの位置での力学的エネルギーの総量が=0 なんてこれも理解しづらい。
》物体もついているから負の位置エネルギーもあるだろうし、ばねの弾性力もあると思います。
》なのに0と等しいなんてわかりません。
位置エネルギーはどこに基準をとるかによって変わりますから、ここでの全エネルギーが0というのは便宜的なものです。この問題では、位置エネルギーの基準をばねの自然長に取っているので、左辺の位置エネルギーの地面に対する変位は0で、mgx0となっています。たとえば、基準を地面にとって、ばねが自然長にある時の物体の地面からの位置をHとすれば、式は
mg×H + 1/2m×0^2 + 1/2k×0^2 = mg(-a + H) + 1/2mv^2 + 1/2ka^2
となり、全力学的エネルギーは0ではなくなります。が、mgHの項は、相殺されるので意味を計算上は意味をなさなくなります。
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Aベストアンサー

 
 
 状況がぜんぜん違ってましたね、w

>> 私は基準は一つにしか取れないと教えられました <<

 それはその通りです。 で、回答の文章は『 それに従って計算を進めると、結果的に「それぞれの最初の位置からの差」で計算した式と同じになる 』ことを お互い知ってるものとして書いてるようです、知らない人には不親切に感じるかもですね。この機会に上記の『…』を覚えましょう、これとても便利ですから。

 そのわけは、
物体 m が高さ H1にあるとします。位置エネは mgH1 ですね。これに外部からエネルギ E が与えられました。何らかのメカニズムで それがぜんぶ位置エネに変わったとします。高さはどう変わるでしょうか。
 高さが H1 から H2 に増えたとします。その位置エネは mgH1 と mgH2 だから
  mgH2 - mgH1 = 入ってきたE ですよね。カッコでくくると
  mg( H2-H1 )= E

 H2-H1 は高さの「差」です。H1 や H2 自体が分からなくても、差が分かってれば この場合の計算はできてしまうってことですね。
 そして、
「問題の文章」は まさにこの場合です。穴の瞬間の速度エネE が 位置エネに変換されるメカニズムが滑車や糸なんですね。



 例えば;
あなたが一階から二階へ質量を持ち上げたとします。一階の高さH1を地面から測り二階H2を近くの海岸(海抜0m)から測るようなことをしてはダメ、これが学習で教わったことです。どちらも地面から測って 1m と 6m を使いなさい ということです。
 で、地面の海抜が 10m なら、海岸から測れば 11m と 16m です。その差は5m。 たとえ地球中心を基準にして測っても この「差は5m」は変わらないでしょう?
 つまり、

『 位置エネの「差」は 位置の「差」だけに対応する。位置の基準は関係ない 』ってことです。
『基準は一つにしか取れないと教えられま』だけから、こんなのが出ました。
ぜったい矛盾してるように思えるでしょうが、慣れましょう。



 余談;
位置エネの差と高さの差だけを使った計算の一例です。
(1)
地表に至る前は;
全質量は m+m+m/2、有効な加速力は Qに掛かる引力 F=(m/2)g だけ。エネルギ=力×距離 なので、垂直距離で L 下がることで解放される位置エネは FL=(m/2)gL です。
これが速度に変わるので その速度エネは (1/2)(m+m+m/2)V^2 です。両方を等しいと置いていじくると V=√(2gL)/√5 を得ます。教科書によくある単純な自由落下の速度は V=√(2gL) ですから、その 1/√5 のスーピードですね。
(2)
板R(質量m)が分離した後は;
全質量は m+m/2になり、有効な加速力は P側が優勢で F=-(m/2)g です、マイナスは力の方向が180度変わったからです。この力 F の中を垂直距離 h 進むと 位置エネは Fh=-(m/2)gh です。
いっぽう、板 R が(運動エネごと)分離したから、残った運動エネは (1/2)(m+m/2)V^2 です、双方を等置すると、
  (1/2)(m+m/2)V^2 = -(m/2)gh
という結果を得ました。回答と比べてください。
(3)
私の式は h がマイナスになります。地下に入り込むゆえマイナス。私的にはよく納得です。 いっぽう問題の方は、文章が「床面からh下降した」だから、「下降」の2文字が符合を受け持って h は符合なしです。
私は高校時代これで混乱しました。今でも嫌です。w

 それから、よーく思い出してみたら、この「差だけでいい」がほんとに納得できたのは社会に出てからでしたよ。
 
 

 
 
 状況がぜんぜん違ってましたね、w

>> 私は基準は一つにしか取れないと教えられました <<

 それはその通りです。 で、回答の文章は『 それに従って計算を進めると、結果的に「それぞれの最初の位置からの差」で計算した式と同じになる 』ことを お互い知ってるものとして書いてるようです、知らない人には不親切に感じるかもですね。この機会に上記の『…』を覚えましょう、これとても便利ですから。

 そのわけは、
物体 m が高さ H1にあるとします。位置エネは mgH1 ですね。これに外部か...続きを読む


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