実数の連続性について

読み物風の数学書にこう書いてありました。


「実数の二つの系列について、
a_1,a_2,a_3,,,,,
b_1,b_2,b_3,,,,,
において、いかなるnにおいてa_n≦b_nでかつa_nは広義単調増加でb_nは広義単調減少であり、しかも差b_n-a_nがnが大きくなるにつれて限りなく小さくなっていくならばすべてのnにたいしてa_n≦α≦b_nとなるような数αがひとつ、しかもただ一つ存在する。
これは実数全体、あるいは直線が一列にすきまなくつながっている主張する命題にほかならない。これを実数の連続性という」

でもどうしてお腑に落ちないのが、上に書いてある命題がなぜ実数が連続だということ、隙間なく詰まっていることを表しているのかがわかりません。αが存在してなくてすべてのnでずっとa_n≦b_nでも連続性を表していると思うんですが...。

よろしくお願いします。

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2014/07/06 15:41

感覚的な議論をしませう．

例えば，こんなサンプル

3, 3.1 3.14 3.141 3.1415 ....
4 3.2 3.24 3.142 3.1416 ....

さてさて・・・すぐわかると思うけど
これは，引用の文のαは円周率πになるようにしています．
πは有理数ではありません．

つまり，有理数だけだとπの部分がポッカリ穴があくのです．
実数ってのは，有理数から極限を考えてることで隙間を埋めたもので
だから「隙間がない」ということで，「連続」っていうわけです．

>αが存在してなくてすべてのnでずっとa_n≦b_nでも連続性を表していると思うんですが

実際問題，上で述べたように
「ずっとa_n≦b_n」というのは有理数で実現できますが，
これは「つながっていません」．
たとえば{x<π，π<x} という集合はπでポッカリ穴があいてますが
あなたのいう「ずっとa_n≦b_n」は構成できますよ．

ちなみに，引用文の「実数の連続性」ってのは
「区間縮小」という流儀です．ほかにも何種類も同値が定義があるので
一番納得できるものを探すのも理解の助けになります．