数学 高校入試の過去問

問題の解き方が知りたいです
問題文の図はこの質問に画像で添付しました
よろしくお願いします


[問題]
大小2つのさいころを同時に1回投げ,大きいさいころの出た目の数をa,
小さいさいころの出た目の数をbとし,図のように,
Oを原点とする座標軸のかかれている平面上に
4点A(a,0),B(0,b),C(a,8),D(8,b)をとる。
四角形ＡＢＣＤが線対称な図形となる確率を求めなさい

[答え]
5/9

[わからないところ]
線対称な図形となるのはa=bになるときなので(a,b)=(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)の６通り
大小２つのサイコロを振った組み合わせは全部で6*6で３６通りだから答えは6/36=1/6だと思うのですがなにか見落としや勘違いをしているのでしょうか・・・

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この問題は下記URLの前期選抜学力検査問題から出題された内容です
（画像アップロードがうまくいってなかったときはお手数ですがこちらを）
http://www.mie-c.ed.jp/koukou/boshu/h25/mondai.htm

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No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/02 23:33

ん, 見落してるね.

ちょうどその絵が, ほぼ線対称でしょ?

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
a=4のときCA軸にするとbはどの値が出ても線対称になりますね→６通り
BDを軸にすると同様の考えて６通り
ここまでわかりました
残りの探し方がまだ理解できないです

お礼日時：2014/08/03 11:48

No.2 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/08/02 23:38

ａ＝ｂというのはＡＢＣＤが直線ｙ＝ｘについて対称となる場合ですね。

そのほかにもＡＣについてとか、ＢＤについてとか、対称軸の取り方
が色々あると思いますよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます
漏れがないような対称軸をとるにはどのように考えたらよいのでしょうか
ＣＡ、ＢＤ、y=x,y=-x+8,y=-x+4など思いつくのをやってみましたが、軸が四角形の角を通るとは限らないですよね
a,b,軸とパターンが多すぎて難しいです・・・

お礼日時：2014/08/03 10:39

No.3 ベストアンサー 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/08/03 11:40

四角形の対称軸の候補は

・対角線
・相対する辺の中点を結ぶ直線
です。直感的には
ＡＣ
ＢＤ
ｙ＝ｘ
ｙ＝－ｘ＋８
となりますが、きちんとやるには対象の定義に戻って
示す必要があります。

例えばＡＣが対称軸になるには
ＡＣとＢＤは直交する　・・・（１）
その交点はＢＤの中点である　・・・（２）
の両方が成り立つことが必要です。（１）は各点の定義から
常に成り立ちます。（２）についてはａ＝４のとき成り立ちます
（ｂの値は任意）。
ＢＤが軸になる場合も同様です。

次にある直線に対してＡとＢ　ＣとＤがそれぞれ対称な位置にある
場合（このときこの直線が四角形の対称軸です）は
ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線が一致する
ことが必要です。一致するためには傾きが等しくないといけません。
ＡＢの傾きは－ｂ／ａなので、ＡＢの垂線の傾きはａ／ｂ
ＣＤの傾きは（８－ｂ）／（ａ－８）なので垂線の傾きは（８－ａ）／（８－ｂ）
この両者が等しいので
ａ／ｂ＝（８－ａ）／（８－ｂ）
ａ（８－ｂ）＝ｂ（８－ａ）
ａ＝ｂ
これで点ＡとＢはそれぞれ（ａ，０）、（０，ａ）であることが判り、その垂直
二等分線はｙ＝ｘです。一方点ＣとＤはそれぞれ（ａ，８）、（８，ａ）で、その
中点（（ａ＋８）／２、（ａ＋８）／２）もｙ＝ｘ上にあります。

以上より、ａ＝ｂのとき
ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線は同じ傾きを持つ
ＣＤの中点はＡＢの垂直二等分線上にある
ことが示され、
ＡＢの垂直二等分線とＣＤの垂直二等分線が一致し、それは直線ｙ＝ｘ
であることが示されました。
ｙ＝－ｘ＋８が対称軸になる場合も同様です。

この回答へのお礼

軸の考え方がよくわかりました。ありがとうございます
ＢとＣ、ＡとＤがそれぞれ対称になる軸も説明してもらったように計算してみたらa+b=8となってこれまでの条件を満たすaとbを洗い出したら5/9になりました

お礼日時：2014/08/03 13:10