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こんにちは。
固有値、固有ベクトル(空間)の問題で分からない所があるので、教えていただきたいです。

問題は
次の線形変換T:R[x]2 → R[x]2 に対して固有値と各固有値についての固有空間を求めろ。
(1)T(f(x)) = f(1-x)
(2)T(f(x)) = f(2x) +f ’(x)

(1)について
R[x]2の標準基{1,x,x^2}は線形変換Tでそれぞれ
T(1) = 1
T(x) = 1-x
T(x^2) = 1-2x-x^2
となるため、表現行列Aは
A=[1 1 1; 0 -1 -2; 0 0 -1] (;ごとに行を区切って書いています)
これの固有多項式を解くと、λ=-1,1
λ=-1の場合は固有空間を求めることが出来たのですが、
λ=1のとき、[E-A]の行列を簡約化すると
[0 1 0; 0 0 1; 0 0 0] となり、ここからどうすればいいのかが分かりません。
(答えはc1+c2(-x+x^2)となります。)


また、(2)の方も同様に行うと、
表現行列Aは A=[1 1 0; 0 2 2; 0 0 4]
となり、固有値がλ=1,2,4となります。
λ=2,4の場合は自力で出来たのですが、λ=1のときに、(1)でつまずいた行列と全く同じ形になり、こちらもどうすればいいのか分かりません。 
(答えはcとなります。)


長くなってしまい申し訳ないです。
どうぞ、よろしくお願いします。

教えて!goo グレード

A 回答 (1件)

「どうすれば」も「こうすれば」もなくただ


固有空間を素直に求める
だけです.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
(1)の方は計算間違いで行列Aの最後(3,3)が1でした。これでやるとちゃんと解けました。
(2)の方ですが、単純にx1=cと置くだけで良いみたいですね・・・。
ありがとうございました。

お礼日時:2014/08/04 19:39

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