
こんにちは。
固有値、固有ベクトル(空間)の問題で分からない所があるので、教えていただきたいです。
問題は
次の線形変換T:R[x]2 → R[x]2 に対して固有値と各固有値についての固有空間を求めろ。
(1)T(f(x)) = f(1-x)
(2)T(f(x)) = f(2x) +f ’(x)
(1)について
R[x]2の標準基{1,x,x^2}は線形変換Tでそれぞれ
T(1) = 1
T(x) = 1-x
T(x^2) = 1-2x-x^2
となるため、表現行列Aは
A=[1 1 1; 0 -1 -2; 0 0 -1] (;ごとに行を区切って書いています)
これの固有多項式を解くと、λ=-1,1
λ=-1の場合は固有空間を求めることが出来たのですが、
λ=1のとき、[E-A]の行列を簡約化すると
[0 1 0; 0 0 1; 0 0 0] となり、ここからどうすればいいのかが分かりません。
(答えはc1+c2(-x+x^2)となります。)
また、(2)の方も同様に行うと、
表現行列Aは A=[1 1 0; 0 2 2; 0 0 4]
となり、固有値がλ=1,2,4となります。
λ=2,4の場合は自力で出来たのですが、λ=1のときに、(1)でつまずいた行列と全く同じ形になり、こちらもどうすればいいのか分かりません。
(答えはcとなります。)
長くなってしまい申し訳ないです。
どうぞ、よろしくお願いします。
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