高校数学の包含関係の問題です

(問題番号2-22)

任意の実数xに対して実数値を定める関数f(x)が与えられている

条件：f(x)=xをみたすxの集合をM,

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする

(1)M∈Nであることを示せ　(=は包含関係の含むを表す記号として見てください、pC上で書き方分からないです

解説はx∈Mならばｆ(x)=xであるから　f(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nとあるのですが
x∈Mならばｆ(x)=xは分かるのですがf(f(x))=f(x)=x　よってx∈Nであり、したがってM⊆Nの所が何故そう言えるのか分かりません

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2014/08/29 06:34

f(x)=x だから

f(f(x))　の　ｆの括弧の中のｆ(ｘ)をｘに置き換えてよい。
（たとえば　g(x)＝α　のとき　f(g(x))＝f(α）　というのとおんなじ。）


f(f(x))＝f(x)
　

f(x)=x だから

f(x)=x


結局

f(f(x))=f(x)=x

この回答への補足

f(f(x))=f(x)=xこの式は分かるんですが、何でここからよってx∈Nと分かるんですか？最初のx∈Mならばｆ(x)=xは分かるんですが

補足日時：2014/08/29 12:14

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 12:14

No.2 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/29 10:59

部分集合の定義を振り返ってみればよいかと。

∀x(x∈M⇒x∈N)が真のときMをＮの部分集合とよび、M⊂Nと表す。

この回答への補足

x∈M⇒x∈Nこの関係が何で言えるのか分かりません

x∈Mならばｆ(x)=xここまでは分かるのですが、次のf(f(x))=f(x)=x　よってx∈NとここからしたがってM⊆Nが何で言えるのか分かりません

補足日時：2014/08/29 12:16

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 12:16

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2014/08/29 12:14

ANo.1の通りなんだけど、やっぱ分からんのでしょうかね。

[1] x∈Mを満たす勝手なxについて考えます。

　1番目の条件から、
　　f(x)=x　…(1)
です。なので、任意の関数gについて
　　g(f(x)) = g(x)　…(2)
です。

　ここで、関数gが何であっても(2)は成立つのだから、関数gが関数fである場合を考えれば、
　　f(f(x)) = f(x)　…(2')
が成立つことが分かります。

　さて、(2')の右辺に(1)を代入すると
　　f(f(x)) = x　…(3)
であることが分かります。
　だから、2番目の条件によって
　　x∈N
です。

[2] 以上から、x∈Mであるどのxについてもx∈Nであることが分かった。つまり、x∈Mはx∈Nの十分条件になっています。なので、
　　M⊂N
です。

この回答への補足

>x∈Mを満たす勝手なxについて考えます。
まずこれはMに含まれるxという意味ですよね？

>f(x)=x　…(1)
Mは(1)をみたすxの集合ですね

>f(f(x)) = x　…(3)
>であることが分かります。
>だから、2番目の条件によってx∈N

f(f(x)) = xであることが分かります←ここまでは分かります、この後の2番目の条件によってx∈Nに何で繋がるのかわかりません

>x∈Mであるどのxについてもx∈N
NにMを満たすxの式f(x)=xを代入したらMの式f(x)=xになりますが、これがx∈Mであるどのxについてもx∈Nに何でなるんですか？

補足日時：2014/08/29 13:44

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 13:45

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/29 13:27

ちょっと噛み砕いてみよう. 以下のうちどこが分からないんでしょうか?

1. x∈Mならばｆ(x)=x
2. f(x) = x なら f(f(x)) = x
3. f(f(x)) = x なら x∈N
4. (1～3 の結果) x∈Mならば x∈N
5. よって M⊆N

この回答への補足

4,5が分かりません3までから4,5に何で繋がっていくのかが分からないです

補足日時：2014/08/29 13:46

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 13:46

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2014/08/29 13:56

そこはただの三段論法なんだけどなぁ.

この回答への補足

詳しくお願いします!!

補足日時：2014/08/29 14:48

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 14:48

No.6 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/29 15:18

あなたが分からない部分がようやっと分かった。

x∈Mならばf(f(x))=xが成り立つところまでは理解できているのですね。
では集合Nの定義は何だったのでしょう？そうf(f(y))=yを満たすようなyの集合ですね。（あえて記号をyに変えています）
ということは、f((f(x))=xを満たすxはf(f(y))=yを満たすようなyの集合Ｎに含まれていませんか？

この回答への補足

>f((f(x))=xを満たすxはf(f(y))=yを満たすようなyの集合Ｎに
>含まれていませんか？
確かにそうですね、自分で確認してみると、まずxがMに含まれるときxはf(x)=xを満たすということですね、

そして、このときf(f(x))はf(x)になってf(x)=xということですね、そしてNはf(f(y))=yを満たすすべての関数を表すからその一部であるf(f(x))=xはNに含まれるということですね

補足日時：2014/08/29 17:27

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 17:29

No.7 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/29 15:27

あ！違った。

三段論法のところが分からないのか。
AならばB、BならばC、CならばD　から　AならばD　が導けます。（これはもうどうして？という以前の皆が認めようという論理です）でもって、今回はAに該当するのがx∈MでありDに該当するのがx∈N

この回答への補足

>AならばB、BならばC、CならばD　から　AならばD　が導けま
>す。
もちろん、この例だと分かりますよ

>今回はAに該当するのがx∈MでありDに該当するのがx∈N
BやCに該当するものがあるんですか？今回は直接じゃなくこういう間に挟んでるものがあるんですか？

補足日時：2014/08/29 17:32

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 17:32

No.8 回答者： stomachman 回答日時： 2014/08/29 16:51

ANo.3へのコメントについてです。

> f(f(x)) = xであることが分かります←ここまでは分かります、この後の2番目の条件によってx∈Nに何で繋がるのかわかりません

「2番目の条件」というのは、ご質問にある

条件;f(f(x))=xをみたすxの集合をNとする


のことで、これは、「f(f(x))=xを満たすようなどんなxもNの要素であり、かつ、Nの要素であるようなどんなxもf(f(x))=xを満たす」という意味です。つまり、そういう性質を持つ集合をNと名付けるぞ、ということです。

> NにMを満たすxの式f(x)=xを代入したらMの式f(x)=xになりますが、

　全然違います。「NにMを満たすxの式f(x)=xを代入」などしていません。
　そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xになります」というのは全く意味をなさない言葉です。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
　どうやら、集合というものがお分かりでないようですね。

　NとMはそれぞれ別の集合です。どちらも、fさえ決めればそれぞれ一意的に決まってしまう集合です。そして、NもMも、数を要素とする集合です。（だから「Mの式」という言葉は何も意味しないのです。）
　
★ もしかして、『「NとMが別の集合だ」ということから、「Mの要素であるxは、Nの要素ではない」と言えるのだ』と、誤って考えていらっしゃるのではないでしょうか。
　正しくは、NとMが別の集合であるときでも「NとM両方の要素になっているx」があるかも知れない。また、「Nの要素であるがMの要素ではないx」があるかも知れない。「Mの要素であるがNの要素ではないx」があるかも知れない。
　たとえば A={1, 2, 3 }という集合と、B={1, 3, 7}という集合は、別の集合ですからA≠Bです。「AとB両方の要素になっているx」は1と3です。また、「Aの要素であるがBの要素でないx」は2ですし、「Bの要素であるがAの要素でないx」は7ですね。

　二つの集合P, Qが同じである (P=Q)のは、「x∈Pであるどんなxもx∈Qであり、かつ、x∈Qであるどんなxもx∈Pである」という場合であり、そしてこの場合だけです。
　なので「PとQ両方の要素になっているx」があったって、それだけじゃP=Qということにはなりません。
　また、二つの集合P, Qが別の集合である(P≠Q)からと言って、「PとQ両方の要素になっているx」がないとは限りません。

　また、P⊂Qであるのは「x∈Pであるどんなxもx∈Qである」という場合であり、そしてこの場合だけです。（従って、P=Qであるとき、P⊂QもQ⊂Pも成立っています。）

この回答への補足

>そもそも「集合Nに何か式を代入する」や、「Mの式f(x)=xにな>ります」というのは全く意味をなさない言葉です。
Mを満たすようなxならばf(f(x))=xを満たし、こういうxはf(f(y))=y(yはすべての実数)に含まれるという事ですか？

補足日時：2014/08/29 17:36

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 17:36

No.9 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/29 21:27

No.4さんの回答をどう考えますか？

AならばB 　　　　　１. x∈Mならばｆ(x)=x　　　　　　　
BならばC　　　　　　2. f(x) = x なら f(f(x)) = x
CならばD　　　　　　3. f(f(x)) = x なら x∈N
なので　AならばD　　4. (1～3 の結果) x∈Mならば x∈N

この回答への補足

じゃあAはx∈M、Bはｆ(x)=x、cはf(f(x)) = x、Dは x∈Nということですね

補足日時：2014/08/29 21:31

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 21:32

No.10 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2014/08/29 21:43

>じゃあAはx∈M、Bはｆ(x)=x、cはf(f(x)) = x、Dは x∈Nということですね

で、結局理解できたのかな？　それなら良かった良かった。

この回答への補足

いえ、そこから更にx∈Mならばx∈Nというのは分かりますが

M⊆Nが何で言えるのか分かりません

補足日時：2014/08/29 22:49

この回答へのお礼

御返答有難うございます

お礼日時：2014/08/29 22:49