常用対数の真数の足し算

真数の中が足し算で構成されている計算です。
10log(10^77/10+10^94/10+10^94/10+10^78/10)についてどのように解くか分かりません。
底は１０で常用対数です。答えは97だそうです。
ご教授お願いします。
因みにA特性騒音レベルでフィルタリングした後のｄＢ計算です。
（各周波数の組み合わせでの総合的な騒音レベルの計算）

No.4 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/09/19 15:59

回答No.2の補足について

１．1/{2*10^(16/10)}≒0.01となる過程
＞A=2*10^(16/10)とおき、A/10=2*10^(3/5)の
両辺の常用対数をとると
log(A/10)=log{2*10^(3/5)}=log2+log{10^(3/5)}
=log2+(3/5)log10≒0.3+0.6=0.9
常用対数表で0.9に最も近い値は7.94だからA/10=7.94
A=79.4、1/A=1/79.4≒0.01
２．1/{2*10^(16/10)}≒0.01だから、
　　与式の真数≒10^(77/10)*{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}への展開
＞一つ上の式
与式の真数=10^(77/10)*[1+10^(1/10)*{2*10^(16/10)+1}]　　　　　
の[　]内の{}内は、上の１．で説明した1/{2*10^(16/10)}≒0.01
を使うと、{2*10^(16/10)+1}={2*10^(16/10)}*[1+1/{2*10^(16/10)}]
≒{2*10^(16/10)}*(1+0.01)となるので、1+0.01≒1から
{2*10^(16/10)+1}≒{2*10^(16/10)}としたもの
３．1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01となる過程
＞１．で説明したA=2*10^(16/10)=79.4を使うと
1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}=1/{10^(1/10)*79.4}
B=10^(1/10)とおいて両辺の常用対数をとると
logB=log{10^(1/10)}=(1/10)log10=0.1
常用対数表で0.1に最も近い値は1.26だからB=1.26
よって1/(1.26*79.4)≒0.01
４．1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01だから
　　与式の真数≒10^(77/10)*10^(1/10)*2*10^(16/10)への展開
＞一つ上の式
与式の真数≒10^(77/10)*{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}
の{}内は
{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}
={10^(1/10)*2*10^(16/10)}*[1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}+1]
３．で説明した通り1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01だから
{10^(1/10)*2*10^(16/10)}*[1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}+1]
≒{10^(1/10)*2*10^(16/10)}*[0.01+1]
(0.01+1≒1として)
≒{10^(1/10)*2*10^(16/10)}
よって10^(77/10)*{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}
≒10^(77/10)*10^(1/10)*2*10^(16/10)

No.3 回答者： staratras 回答日時： 2014/09/19 14:48

No.1です。

log(1+2*10^(17/10)+10^(1/10))からlog(102.4963721…)への変形は、単純に（　）の内部を計算したものです。

概算でよければ、2.5^5≒100　であることを利用して
10＾17≒(4*2.5)^17=2^34*(2.5^20/2.5^3)=(2^34/15.625)*2.5^20≒(2^34/2^4)*2.5^20=2^30*2.5^20
よって　10^(17/10)≒2^3*2.5^2=8*6.25=50
また2^10=1024≒1000だから
1.25^10=(2.5/2)^10=(2.5^10)/(2^10)≒100^2/1000=10

これをまとめると
1+2*10^(17/10)+10^(1/10)≒1+2*50+1.25≒102
さらにこれを100で近似すれば。与式の値は97になります。

なお2.5の5乗が100に近いというのは、天文学で星の光度が5等級違うと、明るさが100倍違う（1等星は6等星の100倍明るい）という知識にもつながるので、2^10≒1000　と一緒に覚えて置いても損ではないと思います。厳密に言えば100の5乗根は2.5118…ですが。
　

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2014/09/18 08:57

＞基本的にはlog(A*B*C*・・・)=logA+logB+logC+・・・

の形に持ち込みます。
与式の真数
=10^(77/10)+10^(94/10)+10^(94/10)+10^(78/10)
=10^(77/10)*{1+10^(17/10)+10^(17/10)+10^(1/10)}
=10^(77/10)*[1+10^(1/10)*{2*10^(16/10)+1}]
ここで1/{2*10^(16/10)}≒0.01だから
与式の真数
≒10^(77/10)*{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}
さらに1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01だから
与式の真数
≒10^(77/10)*10^(1/10)*2*10^(16/10)
よって
与式≒10log{10^(77/10)*10^(1/10)*2*10^(16/10)}
=10log10^(77/10)+10log10^(1/10)+10log2+10log10^(16/10)
=10*(77/10)+10*(1/10)+10log2+10*(16/10)
=77+1+10log2+16=94+10log2≒94+3=97

この回答への補足

log(A*B*C*・・・)=logA+logB+logC+・・・の形に持ち込むことについては良く理解出来ます。
但し、次のところで躓きました。
１．1/{2*10^(16/10)}≒0.01となる過程

２．1/{2*10^(16/10)}≒0.01だから、
　　与式の真数≒10^(77/10)*{1+10^(1/10)*2*10^(16/10)}への展開

３．1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01となる過程

４．1/{10^(1/10)*2*10^(16/10)}≒0.01だから
　　与式の真数≒10^(77/10)*10^(1/10)*2*10^(16/10)への展開

基本を理解していなくてすみません。

補足日時：2014/09/19 05:46

No.1 回答者： staratras 回答日時： 2014/09/17 23:38

足し算は足し算をするだけですが、多少工夫しました。

10log(10^77/10+10^94/10+10^94/10+10^78/10)
=10log(10^(77/10)(1+2*10^(17/10)+10^(1/10))
=10(log(10(77/10)+log(1+2*10^(17/10)+10^(1/10)))
≒10(7.7+log(102.4963721…)）
≒10(7.7+2.0107…）
≒97.1070…

この回答への補足

回答有難うございます。
log(1+2*10^(17/10)+10^(1/10))からlog(102.4963721…)への展開をどうやったか教えて頂けないでしょうか。

補足日時：2014/09/19 05:34