幾何について

物理専攻の大学生です。

僕はもっと幾何に親しみたいと思っています。
高校までの間に曲がりなりにもやってきましたが、入試の勉強でやったくらいで、3次元立体を頭にイメージして回転させたり切断したりするのもあまり得意ではありません。図形について考えるのは好きではあるんですが。
もうちょっとセンスを付けたいと思うのですが、何か楽しくできるトレーニングみたいなものはないでしょうか？

現代物理(相対論や弦理論)を学習•研究するに当たっては、幾何学的な考察をする場面も増えて来るときくので、その準備も兼ねて慣れておきたいです。

No.2 回答者： stomachman 回答日時： 2014/10/12 10:14

　前半で仰ってるのは中学校でやるような「ユークリッド空間で図形の性質を調べる」という意味での幾何学であるのに対して、現代数学（そして「現代物理(相対論や弦理論)」）で言う幾何学とは空間の性質を調べるもの。

ちょっと観点が違います。
　後者では、図形が示す性質は実は空間の性質が現れたものである、と考える訳です。ここで言う「空間」とは、物理で言う現実の空間のことに限らず、抽象的な空間全般を扱います。従って、その応用においては時空も空間の一種（特殊相対性理論、一般相対性理論）だし、「情報がなす空間」も考えられる（情報幾何学）。量子力学では確率空間の幾何学が、近年特に重要性を増しているようです。
　トポロジーは空間がそれ自身と複雑に絡まり合っているようなのを扱います。最も簡単なのはドーナツの表面を空間だと思う、という例。局所的に見ればユークリッド空間と同じなのだけれど、その「局所」同士の繋がり方がユークリッド空間とは違う、ということですね。しかし、それだけじゃ片づかない、直感的なイメージとしての空間とはかなり違う性質を持つ空間も多々あります。たとえば、座標変換の連結性 (AB)C = A(BC) すら成立たないような空間も扱われます。
　いずれにせよ、その空間における対称性が、特に重要なポイントです。（物理における保存則と対称性は、ネーターの定理によって結びついています。）

　ちうわけで、中学校的幾何図形に親しむ話はそれだけでひとまず完結した趣味としておいてですね、これからの勉強のための準備としては現代の幾何学における「物の考え方」に親しんでおくのが重要だろうと思います。

No.1 回答者： trytobe 回答日時： 2014/10/08 18:00

おそらく、化学で出てきた結晶構造から、

結晶構造 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%B5%90%E6%99%B6% …

それを点群として記述できるようになり、

標本は語る ： 東京大学
http://www.um.u-tokyo.ac.jp/publish_db/2004Syste …

空間群の参考書と照らし合わせながら、

結晶構造解析のための空間群
http://nc-imr.imr.tohoku.ac.jp/HERMES/Analysis/S …

点群・空間群としての記述と、同じものでも複数の記述が可能なものがあるという実感ができれば十分かと思います。

東京工業大学 尾関研究室｜結晶構造解析｜結晶の対称性
http://www.polyoxo.cms.titech.ac.jp/crystallogra …

点群 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%82%B9%E7%BE%A4

シェーンフリース記号 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B7%E3%82%A7% …

ヘルマン・モーガン記号 - Wikipedia
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%AB% …