対数の計計算方法

電気の勉強をしていたところ、

問題集に(log7.3333333)/(log1.5)=4.91

とだけ記されていました。

これを手計算もしくは電卓（関数機能なし）で求める方法がわかりません。

どなたかお分かりになる方がいましたら教えてください。

No.4 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2015/01/15 01:30

常用対数のlog2≒0.3010　log3≒0.4771 　は使えるものとします。

log7.333333≒log(22/3)=log2+log11-log3
log1.5=log(3/2)=log3-log2 なので
与式＝(log2+log11-log3)/(log3-log2)=(-(log3-log2)+log11)/(log3-log2)=-1+(log11/(log3-log2))

log11の値を大まかに求めると、log10=1 log12=2log2+log3≒1.0791　だから
log11≒(log10+log12)/2≒1.04　よって与式≒-1+1.04/0.1761≒4.91

問題集の桁数でよければ、このような単純な略算でも求められます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
皆さんの回答を参考にしてlog(22/3)＝log(100/13.5)=log100-log13.5
=log100-(log9+log(3/2))=2log10-(3log3-log2)と
で計算したのですが、思いのほか誤差がありました。
logの性質をよく理解していないと失敗しますね。
log11の算出方法がシンプルで、分かりやすくてすっきりしました。

お礼日時：2015/01/15 16:00

No.3 回答者： okormazd 回答日時： 2015/01/14 17:38

常用対数とします。

1.
対数の知識が全くなければ、「手計算もしくは電卓（関数機能なし）で求める方法」はありません。対数をいくらか勉強したことのある人なら、
log2=0.3010
log3=0.4771
くらいは知っています。ちょっと時間がかかるし面白くもない計算ですが、これを知っていれば必要なときには計算できます。
2.
質問の場合、7.3333333に近い数で、2と3の掛け算または割り算で求められる数を2つ見つけます。
この場合は、7.2と7.5がいいでしょう。
7.2=2^3*3^2/10
7.5=5^2*3/10
3.
この2つの数の対数を求めます。いくらか対数の知識が必要です。
log7.2=3*log2+2*log3-1=3*0.3010+2*0.4771-1=0.8573
log7.5=2*log5+log3-1=2*log(10/2)+log3-1=2*(1-log2)+log3-1=1-2*log2+log3
=1-2*0.3010+0.4771=0.8751
4.
あとは、7.3333333の対数を比例計算で求めます。
log7.3333333=0.8573+(7.3333333-7.2)/7.5-7.2)*(0.8751-0.8573)=0.8652
5.
log1.5=log3/2=log3-log2=0.4771-0.3010=0.1761
6.
(log7.3333333)/(log1.5)=0.8652/0.1761=4.913
で、
実用的な精度で求まります。

log2=0.3010
log3=0.4771
の2つと対数の知識だけで、「手計算もしくは電卓（関数機能なし）」で求まりました。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。比例計算ですか。なかなか気に入りました。logは高校の時に勉強しましたが、電気の問題でもよく出てきますが、文字計算だけです。log2、log3の値は高校の時に覚えていましたが今は忘れました。比較的早く答えにたどり着ける解説で助かりました。大変参考になりました。

お礼日時：2015/01/15 14:30

No.2 回答者： sesame131 回答日時： 2015/01/14 15:37

「電気」ということですので、厳密な値でなく近似値だと思います。

常用対数で考えます。
分子の対数の真数を22/3で禁じすると与式の値の近似値は、
log(22/3)/log(3/2)=log(11)/{log(3)-log(2)} - 1
ですから、３者の近似値がわかれば計算できます。

関数電卓がなければ、ln(2), ln(3), ln(11) の近似値をを級数展開で求める必要があります。
かなり面倒ですが、素数の自然対数が次々と計算できます。
まず、(1/2)ln{(1+x)/(1-x)}=x+(1/3)x^2+(1/5)x^5+...,
において、x=1/3 としてln(2) を求め次に、上式でx=1/N とおいた式、
(1/2)ln{(N+1)/(N-1)}=1/N+(1/3)(1/N^3)+....
において、N=17 とすると、ln(9/8)=2ln(3)-3ln(2) が計算でき、さらに、N=10 として、ln(11/9)=ln(11)-2ln(3)を求めると、ln(2), ln(3), ln(11) の近似値が計算できます。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。この問題はかなり昔の問題で、中には級数展開を利用した問題もありました（最近の問題では見ないですが）。logの計算だけで、時間をとってたら、問題の答えを出すのに時間がかかりすぎるんですが、仕方ないのかも。問題集が不親切で残念です。

お礼日時：2015/01/15 14:10

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2015/01/14 15:36

せめて関数電卓がなければできません。

7.33333=7+1/3=22/3

(log7.3333333)/(log1.5)=log(22/3)/log(3/2)=(log22-log3)/(log3-log2)

=(log2+log11-log3)/(log3-log2)

log2=0.3010

log3=0.4771

は覚えておく必要がありますが

log11=1.0414は覚えている人は少ないでしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございました。自分で解くとしたら同じ結論になったと思います。

お礼日時：2015/01/15 13:49