経過時間と圧力は？

Question

1　容器（体積Ｖ）の中に、大気圧（Ｐa）より大きい空気（内圧力Ｐ）が入っている。

2　その容器に　極めて小さな穴（半径ａ）が開いている。

3　その状態で　ある時間（Ｔ）経過後に　容器内の空気は　容器の外に逃げて内圧は下がっていく。

4　この時　経過時間と内圧力の関係を　教えて下さい。

hirombo · Accepted Answer

>その時の圧力　ｐは（等温変化として）
　ｐ＝Ｐ×Ｖ／（Ｖ－Ｑ）

この式に疑問があります。
式中のＱは基準状態（大気圧下）での空気量に換算されていますか？
Ｑ＝Ｖとすると式中の分母がゼロになり計算できなくなるので式が違っていると思います。
もう１度検討してみて下さい。

容器の中の空気の圧力は絶対圧ではなく大気圧を圧力ゼロとするいわゆるゲージ圧でＰとします。
また容器の外に逃げる空気の量Ｑも基準状態（大気圧換算値）とします。
ゲージ圧で考える方が考えやすいと言う理由です。
容器内の初期の空気量Ｑ0は大気圧換算値で
　Ｑ0＝（Ｐ0＋１）Ｖ
流出空気量をＱ（大気圧換算値）とすると容器の内圧は
　Ｐ＝（（Ｐ0＋１）Ｖ－Ｑ）／Ｖ－１
　　＝（Ｐ0＋１）－Ｑ／Ｖ－１
　　＝Ｐ0－Ｑ／Ｖ
になります。
この式にＱ＝０、Ｑ＝Ｖ、Ｑ＝Ｐ0＊Ｖを代入して検算すると各々
　Ｐ＝Ｐ0
　Ｐ＝Ｐ0－１（ゲージ圧が１気圧低下）
　Ｐ＝０（ゲージ圧がゼロ：大気圧の空気）
となってツジツマがあいます。

No.2の回答で容器の容積をＣとしましたが、容器の容積は質問文中に体積Ｖとありますので回答の一部を下記の通りに訂正します。

経過時間ｔ後の容器の圧力は容器の初期圧力をＰ0、容積をＶ、全流出空気量をＱとするとf(t)＝Ｐ0－Ｑ／Ｖになります。
以上より　f(t)＝Ｐ0－１／Ｖ∫ｋ×f(t)×dt
この式を解いて　f(t)＝Ｐ0ｅ＾（-kt/v）　が得られます。

hirombo · Answer

小さな穴から容器の外に逃げて行く空気の量は、穴の大きさ、形状、長さにより決まる係数ｋと（流量係数と呼ばれる）穴の前後の圧力の差（差圧）に比例すると考えられます。
容器内圧と時間ｔの関係をp＝f(t)と置きます。
時間ｔの瞬間のΔｔ秒間の流出空気量ΔＱ＝ｋ×f(t)×Δｔ
時間ｔまでの全流出空気量Ｑは区間０～ｔでｋ×f(t)×Δｔを積分して表せます。
経過時間ｔ後の容器の圧力は容器の初期圧力をＰ0、容積をＣ、全流出空気量をＱとするとf(t)＝Ｐ0－Ｑ／Ｃになります。
以上より　f(t)＝Ｐ0－１／Ｃ∫ｋ×f(t)×dt
この式を解いて　f(t)＝Ｐ0ｅ＾（-kt/c）　が得られます。
考え方は間違いないと思いますが、ラプラス変換も忘れてしまい計算結果は保証できません。
ただ結果は直感的イメージと合っています。
ご質問者さんご自身で計算して結果を出してください。
同じ結果だと嬉しいのですが。

sanori · Answer

補足要求です。

穴のところでの、外への空気の流出速度と、中への流入速度との差で、内部の空気の量が減っていきます。

このとき、前提のパラメータが一つ不足していると思います。
それは「温度」です。
理想気体を仮定すれば、極端な話、絶対零度では、まったく流出も流入も起こらないと思います。

というわけで、温度も定義してください、という補足要求でした。


追伸
初期の状態で内外それぞれあらかじめ大気圧の分だけマイナスして、すなわち外を真空だと考えても同じ答えになりそうな気がします。

経過時間と圧力は？

>その時の圧力 ｐは（等温変化として）

小さな穴から容器の外に逃げて行く空気の量は、穴の大きさ、形状、長さにより決まる係数ｋと（流量係数と呼ばれる）穴の前後の圧力の差（差圧）に比例すると考えられます。

補足要求です。

この回答への補足

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