宇宙と数　VOL.2

Question

（ごちゃごちゃ書いていますが、読むのが面倒な方は、結論部分（ア）（イ）（ウ）の３行だけお読みになってから質問にお答えいただいても構いません。）

いきなりですが、まず、あなたは今、道路をまっすぐ前に歩き続けている、と仮定してください。
歩き出しの二歩目なら「２」、三歩目なら「３」と数えながら歩きます。
「２」「３」「５」など、歩数が素数の場合、今、歩いている道路は一段高くなります。
つまり、「道路＝階段」です。素数以外の場合は、同じ平面が伸びていくだけです。
７歩目には「７」と書かれた階段が造られます。
８、９、１０は平面のままで、１１歩目に、また一段上がって「１１」と書かれた階段が造られます。
数は無限なので、この階段はどこまでも天に向かって伸びていくことになります。
このような階段を想定したオイラーという人は、これを【素数階段】と名づけました。
また、オイラーは、下記のような計算結果が得られることも発見しました。
[ 2の二乗 /  ( 2の二乗ー１)] × [ 3の二乗 /  ( 3の二乗ー１) ] ・・・・・× [ X の二乗 / ( X の二乗ー１ )] ・・・・・ = π（パイ）の二乗 / ６  
X は素数で、左辺は素数に基づく項であるのに、出てきた解は 【 π 円周率】という数学定数に基づいていたのです。この式は、

（ア）（一件無秩序に現れるように見える）素数は、自然界の定数【 π 円周率】と密接な関係がある。（オイラー）

ということを多くの人に示すことになりました。
さて、数年後、ガウスという人が、オイラーの造った素数階段を（むろん仮想的に）登りました。
そして、任意の素数（ X ）が書かれた階段部分から、地上に向けて一本のロープを垂らしました。
そのときの地上までの高さ（長さ）を T とします。
ところで、科学者が古くから使ってきた「自然対数表」というものがあります。
http://emath.s40.xrea.com/ydir/Wiki/index.php?%BC%AB%C1%B3%C2%D0%BF%F4%C9%BD
カタツムリの殻・台風・銀河の渦などなど、自然界にある「螺旋（らせん）」の距離に関する定数を表わしたものです。
表には、
A ＝螺旋の中心から螺旋上のある一点までの直線距離
と、それに対応する、
Ｂ ＝螺旋の巻き数
を表わした数字が延々と続きます。
そしてガウスは、 [ X ＝ A  ] のとき、[ A / B = T ] になることを発見しました。
[  A / B ]　という物理学から導かれた数値と、素数 X から導かれた[ T ]　という数値がほぼ一致する。つまり、

（イ）（一件無秩序に現れるように見える）素数は、自然対数の定数（e）と密接な関係にある。（ガウス）

ということを発見したわけです。
こうした流れから、さらに、「ゼータ関数の非自明なゼロ点はすべて一直線上にあるはずだ」という、かの有名なリーマン予想が生まれます。
これについては長くなるので今回は端折りますが、ここでは、「ゼータ関数」とは、オイラーの式が基になっており、つまり、こちらも素数を基にした関数であることと、そこから発生する「ゼロ点」という言葉だけに留意してください。
ということで、ヒュー・モンゴメリーという数学者は、フリーマン・ダイソンという物理学者との偶然の出会いによって、ゼータ関数のゼロ点の並んでいる間隔を表わす式と、ウランなど原子核のエネルギーの間隔を表わす式が、ほとんど同じであることを発見しました。つまり、

（ウ）（一件無秩序に現れるように見える）素数は、物理学のミクロ世界である原子核のエネルギーと密接な関係がある。（モンゴメリー / ダイソン）

ということを発見したわけです。
---------------------------------------------------------------------
【ここで質問です】
これら（ア）（イ）（ウ）を事実として前提にした場合、素数と宇宙には何らかの関係があると思いますか。あると思われるなら、それは、どのようなものでしょうか。
また、これらのことから、数や宇宙の無限性に何らかの関連性を想定することはできるでしょうか。
むろん、物理学的・数学的・哲学的根拠に基づくものであれば、それに越したことはありませんが、特に拘りません。
基本的に自由、推測・推断・独断的発想、大いに歓迎いたします。
リーマン予想については、あえて深入りしてませんが、あらゆる視点からのお考えを知りたいと思います。詳しい方もそうでない方も、ご自由にご回答いただければ幸いです。
----------------------------------------------------------------------

以上は、NHK ハイビジョンスペシャル「素数の魔力に囚（とら）われた人々～リーマン予想・天才たちの１５０年の闘い」を視聴しての抄録です。
https://www.nhk-ondemand.jp/goods/G2010020522SA000/
この方面に詳しい方からみると、不正確さの残る記述があるかもしれません。
ご指摘があれば甘受いたしますのでお願いいたします。
ただ、本旨は数（素数）と宇宙（自然）との関係性について考えていただくため、現在判明しているところまでの大体をお示しすることです。

amaguappa · Accepted Answer

> たしかに、そこは慎重になるべきなのかもしれません。
ただ、原子核のエネルギーは一定せず常に変化しているという事実がまずあり、その示す値に一定の間隔があるのもまた事実のようです。
あるいは、自然対数に基づく｢対数螺旋｣というものが自然界に広く存在していることも事実と言って良さそうです。・・・・
・・・・ここに素数がどのように絡んでいるのか、あるいは絡んでいないのか、という意味では、たしかに未知数なわけですが、それが果たして仮構であるのか否か、という点に興味を持った次第です。

：
そうですね。事実ですね。先日、はこぶるさんもご存じの物理学者の猪突さんが、ブログでお書きになっていたのですが、「最も基本的な構成要素の性質が解れば全体のあり方も原理的には解るはずだという仮説」に立つアインシュタインやディラックやホーキングやワインバーグのような還元主義と、プリコジンの散逸構造の理論によって「全体は部分の総和よりも多くの情報を持っており、その情報は還元論では説明がつかないことも解っている」こととは、両立が困難なのだそうです。針の穴にラクダを通すより大変なのだそうです。証明からもう半世紀経っていますけれど、自然科学の発見と記述というのは途方もないものですね。事実が、部分にかかわる極小的な表出なのか、全体にかかわる潜在的なベースなのかさえ不明瞭です。一体ケストラーのホロン理論で解決するものでしょうか。まさにタオイズムなんだとカプラは言い、この話はニューサイエンスへ運ばれて行くのでしょうか。

数学は書き起こせば世界が見つかり、物理学は書き留めれば世界が生まれるという勝手な印象ですが、どちらも人間の考えうる数理展開の仕方をのべつまくなし四方から検討する作業に違いありません。
そこでは言語の記述が抱える問題と同様に、メタ思考が働いている筈です。思考を俯瞰思考することを余儀なくされ、思考が思考のパーツとなり、こう考えるとはどう考えることなのか、遡及し、引用し、引き寄せられ、遠避けられ、分別され、照合され、対置されて有機的に組みあがるのです。認識を起こした思考だけでなく思考を起こした視座を俎板の上に置くのです。
ここに別々に生まれた2つの数式が一致しています。
別の視座から始まった別の思考によるけれど一致した認識ですから、謎めいています。ならばもう一段、メタしたい、俯瞰思考したい、と人々は望むのですが、そうかといって、こんどは視座を起こした因習的法則を俎板の上に置くのは、大変難しい。メタに上がれないときの秘策は、転用です。
現実には、一致を利用して、代入することでいままで考え付かなかったまたは導き出せなかった新しい結果がもたらされると期待できます。あるいは、他の現象について一致する3つ目の数式が出るかもしれません。そのときはもっと利用価値が上がるでしょう。

>　心理作用は、ある意味で基本的に物理的作用でもあるという印象がありますが、パウリとユングの交流も、そうした観点から発していたのかもしれないですね。

：
パウリとユングは、量子の波動性と粒子性からシンクロニシティの現象について考察したのですね。
プランク定数とフロイトの『夢判断』が同年という、量子力学と精神分析学ともに幕を開けた当時の時代性や文化をよく考慮したうえでも、ユングというのは評価の難しい人です。意識の変容を世界のダイナミズムとの相互作用に違いないと考えていたユングは、のちにニューエイジおよびニューサイエンスにもてはやされることになります。そうしたなか生命や環境まで追求する理論物理学者たちが、さきほどのラクダを針の穴に通すアイディアに傾倒したおかげで、複雑系という有望な視座が精錬されたともいえます。
パウリの期待とは違って、ユングは先端科学よりもヴァールブルク派的なイメージおよびイコノロジーを掘り下げようとしていました。人類の意識が物を考えるしくみまたは制約が、素粒子の5次元の動きだ、なんてことにならないかぎり、パウリとユングの真の友情は結ばれようもないのです。
そして、ご質問の、素数と自然や宇宙という問題は、そういうアプローチの延長にあると言ってみたなら、パウリとユングがあの世でふたたび文通するやもしれません。すなわち、数の数え方は5次元における素粒子が支配しており、纏まりと反纏まりについてとか、結び目と反結び目についてとかの法則に依る、と。存在の反纏まりは不定形かつ無限級の重層で数を数えられないが、ゼータ関数のゼロ点の間隔でブレていない存在が纏まっている、といったような話まで飛躍していかないと、メタに上がれない問題のような気がするわけです。それでも、やっぱり、ユングは反纏まりの海を見つめて、意識が世界を変容させ、世界が意識を変容させるなかで類型を求めていくんでしょうね。

追伸
「インターステラー」という昨年の映画をご存知ですか？　非常によく作られたSF映画で、堪能しました。きっとはこぶるさんもお好きなのではないかなと思います。回答は書き散らしましたが追伸が一番マトモかも。

amaguappa · Answer

> どうも、人間というもの自体が素数の法則によって出現してきた、何かの余り物なのではないか、という妄想さえ湧いてきます。

還元主義的に描くことのできる法則性を思うと、その一方でこの人間ですもんね。人間が余り物っぽいというのは、心情としてわかる気がします。
すばらしき哉、人生!  
圧倒的な実在として、行きあったりばったりな余り物ばかりの生物界に身を置くということで、福も禍もこちら側にあるというわけです。素数には禍福がなさそうです。

suzumenokox · Answer

ひょっとすると
高次元の因果律が表出しているのかもしれない
などと考えています。

amaguappa · Answer

お返事書きますからちょっと待っててくださいませ。

k_jinen · Answer

#4,7,8です

お礼欄で
> リーマンゼータ関数もディリクレ級数でしょうから、この解説文を読んだ限り、オイラー積（と呼ぶべきかどうかも
> はっきりしませんが）と素数に密接な関連がある、と表現しても特に重大な問題は発生しませんよね。

とのことですが、パイが出るかどうか（右辺の値）に関わらず、左辺の無限級数和を積（オイラー積）の形に変換するときに素数列として表示できるという意味です。

これとは別に、右辺にパイが出てくる理由は、三角関数と円との関係にあります。

詳しくは
http://www.geocities.jp/ikuro_kotaro/koramu/798_pi.htm
http://globe.asahi.com/feature/100201/04_2.html
などを参照願います。

素数とパイとは「間接的に」繫がっているという意味です。
そのことを理解した上で「密接な」といった言葉を入れることができるかどうかですかね。。。
朝日新聞グローブの記事では「繫がっていた」という表現に留めています。

もし詳しいことを確認されたい場合には、「数学」カテゴリーでの質問が望ましいかと存じます。

amaguappa · Answer

前回のご質問が、こういうリーマン予想に展開するものだとは考えもしませんでした。
NHKスペシャルは見ていませんが、こんなところで尋ねてみようかなと思わせるなんて、NHKは罪なものであります。

わたしからのプレゼントは、ヴォルフガング・パウリとユングの交流です。
ひとまず素数はおいておいて、素粒子のダンスをゆっくり見つめるべきです。

リーマン予想を解説するためのゼータ関数のグラフが、ウェブにさまざま提示されていますね。どれもとてもきれいですが、これからするのはグラフや図示の話ではありません。
そもそも数式はイメージに近いです。素数の分布と原子核のエネルギーの間隔が同じ数式を得たということは、同じイメージを得たわけです。

図を得ることは、地を得ることであります。

二つの物が同じ図を得ることは、同じ地を得ることであるはずです。では、同じ地を得るなら、二つの物の相関関係を示す真理に近づくと言えるのでしょうか。

そのような地とは、イメージングの手段としての統一な理論ではあっても、真理や原理ではないでしょう。同じ地であることそれ自体によっては仮構性は破られないでしょう。

素粒子のゆらぎ、圧力、重力の微細なものどうしの関係は、一匹のカブト虫をどのように動かすのでしょうか。不思議ですね。。。
遺伝子を残そうとする生命を、衝き動かしているのは。。。万物の持つエネルギーとは。。。質量のバランスとは。。。時間とは。。。心とは。。。

k_jinen · Answer

#4,#7です
複素数は残念ながら素数とは概念がことなります。
そこに「只ならぬ関係性」を感じられるのであれば、「味の素」や「素子（もとこ）さん」との間にも感じられることでしょう。。。と、冗談はさておき、

オイラー関連で、円周率といえば「オイラーの公式」（間違っても「オイラの公式」ではない）が有名でしょう。
e^(i θ) =cos(θ) + i sin(θ)
そこから導き出される「オイラーの等式」
e^(i パイ) = -1
もまた、興味深く鑑賞できると思います。

＝＝＝　以下　wikipediaでの「オイラーの等式」より
オイラーの等式は、その数学的な美によって特筆すべきものと多くの人に認識されている。
この等式は次の5つの基本的な数学定数を含んでおり
1 : 乗法に関する単位元
0 : 加法に関する単位元、すなわち零元
π : 円周率。三角比、ユークリッド幾何学、微分積分学で頻出。およそ 3.14159 である。
e : ネイピア数。自然対数の底でもあり、微分積分学で広く出現。およそ 2.71828 である。
i : 虚数単位。複素数における虚数単位であり、積分などの多くの演算においてより深い洞察に導く。
かつ、それらが次の3つの基本的な算術演算によって簡潔に結び付けられている。
加法
乗法
指数関数
幾何学、解析学、代数学の分野でそれぞれ独立に定義された三つの定数(π 、e、i)がこのような簡単な等式で関連付いているという事実は非常に興味深いことである。
＝＝＝

k_jinen · Answer

＃４です
素数と自然といえば、「素数ゼミ」（周期ゼミ）が有名なようですね。
自然の内部にて周期性を有する物事については、素数という構造が相互作用において大きな意味を持つ場合があるのかもしれないですよね。

さて、お礼欄でのご質問の項目ですが、素数が関連するとすれば、上記のような何らかの相互作用にて打ち消し合われた結果、残ったものという概念で説明できるかな？というレベルでの回答でした。

もっと突っ込んだところを調べてみたら、「モンゴメリー・オドリズコ予想」として有名なもののようでした。よくよく読んでみると、「素数そのもの」ではなく、「素数の数」（素数分布）に関連するリーマンゼータ関数を複素数に拡張した場合の「非自明な零点の間隔分布」に関するもので、数式が似ているというのが元々のようです。すなわち、素数の「隣の庭」繋がりみたいな感じでしょうか？

個人的には「非自明な零点の間隔分布」が原子核のエネルギー準位と関連すると聞いた場合、リーマンゼータ関数にて「非自明な零点」となる値、すなわち複素数の実数部分である「1/2」という値と、複素数の虚部がゼロになる「周期」の２点が引っかかります。

原子核の核子（陽子・中性子）はスピンが「1/2」という性質を有しています。スピンは複素数で現されるらしく、複素数で現される空間を一定の「周期」で回転しているとみなされるとのことです。
したがって、「素数」繋がりというより、「1/2・複素数・周期」繋がりかもしれません。

あと、冒頭のご質問の記載内容ですが、ざっくりと見たところ、数点気にかかる記述がありました。
> オイラーは、下記のような計算結果が得られることも発見しました。
> （中略）= π（パイ）の二乗 / ６ 
> X は素数で、左辺は素数に基づく項であるのに、出てきた解は 【 π 円周率】という数学定数に基づいていたのです。
ですが、これは「オイラー積」と呼ばれるもののようです。

もともとπ（パイ）の二乗 / ６ という値は「バーゼル問題」として「平方数の逆数全ての和」の解であり、その解法は、wikipediaでの「バーゼル問題」の箇所に明記されています。そこでは「オイラーは、sin x のマクローリン展開を利用して解く方法を編み出した。」とあり、素数は全くでてきません。これとは別に、wikipediaの「オイラー積」の項目にて、リーマンゼータ関数を「オイラー積」に変換する手法が記載されており、リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された」とあります。

また、貝の螺旋は、素数というより、黄金比と関連する「フィボナッチ数」との関連が高いとされています。
＝＝＝wikipediaより
フィボナッチ数は自然界の現象に数多く出現する。
花びらの数はフィボナッチ数であることが多い。
植物の花や実に現れる螺旋の数もフィボナッチ数であることが多い。
（中略）
葉序（植物の葉の付き方）はフィボナッチ数と関連している。
ハチやアリなど、オスに父親がない家系を辿っていくとフィボナッチ数列が現れる（父母2匹、祖父母3匹、曽祖父母5匹、高祖父母8匹…）。
＝＝＝
フィボナッチ数は、直前の連続する数（状態）にて次の数（状態）が決定されるため、全体像の情報が不要だという点で、自然界で多く見出されるのだと思います。
いろいろと調べたところ、フィボナッチ数・螺旋と素数との関係もまた「隣の庭」の関係のようです。

psytex1 · Answer

#5の者です。

＞「時間軸が空間軸に対して虚数関係である」という点に関して、
＞もう少し噛み砕いていただければ、非常に有り難いと感じました。

今や物理学の基礎である相対性理論においてそうなっています。
超光速でエネルギーが虚数（自乗でマイナス＝時間軸逆行と等価）
になるのもそのためです。

＞超弦理論は、たしか世界を１１次元としているように聞き及んで

スタートが量子的ブラックホールであれば、その後の階層現象化
（ある単位が相互作用で公転すれば、その系が上位現象の単位となる）
において、次元が潜在的に巻き込まれます。
輪（=１次元）に見えたものが、アップで見るとドーナツ（=表面は
２次元）になるようなもので。
超弦＞クォーク＞素粒子＞原子＞分子＞細胞＞個体（意識）の７層の
階層現象の“ドーナツ化のくり返し”に潜在的次元は繰り込まれています。
その、存在の根源である超弦＝量子が、先の時・空軸の虚数関係による
等距離点の０（ミンコフスキー空間のライトコーン=光の軌跡）として
得られているという事は、換言すれば、階層現象的な非光速性に依存
して生じている時空の広がりを、原理的探求において無に還元するもの
として、存在はあるのです。（無とは分からない事が有）

psytex1 · Answer

オイラーの素数方程式と、不確定性原理の波動方程式は、似ている。
物質の根源である超弦は、量子重力によるブラックホール（マイナス）
の周囲における量子エネルギー（プラス）の定常波として得られている。
そのマイナスは、時間軸が空間軸に対して虚数関係である事により、
そこにおける複素平面での回転として量子半径は得られる。
（不確定性の相補性は、位置(S)と運動量(St)、時点(T)と質量(Ts)の
二対を成し、空間軸と時間軸の相補性を示唆している）
つまり、存在（有限な値）の原点＝１は、０の周辺での回転として
得られているのだ。

宇宙と数 VOL.2

> たしかに、そこは慎重になるべきなのかもしれません。

> どうも、人間というもの自体が素数の法則によって出現してきた、何かの余り物なのではないか、という妄想さえ湧いてきます。

ひょっとすると

お返事書きますからちょっと待っててくださいませ。

#4,7,8です

前回のご質問が、こういうリーマン予想に展開するものだとは考えもしませんでした。

#4,#7です

＃４です

#5の者です。

オイラーの素数方程式と、不確定性原理の波動方程式は、似ている。

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