空間ベクトル内積問、1辺の長さが1である立方体ABCD-EFGHにおいて AC・CFの内

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質問者：lovehotgirl
質問日時：2015/09/11 16:57
回答数：3件

空間ベクトル内積

問、1辺の長さが1である
立方体ABCD-EFGHにおいて

AC・CFの内積を求めよ。

解答、√2×√2×cos120=-1

なぜθが120なのかがわかりません。
教えてください。

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回答 (3件)

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No.3

回答者： tknakamuri
回答日時：2015/09/12 21:26

ΔACFはー辺が√2の正三角形。

だから角度ACFは60度。
ACとCFの角度は、ACの方向とCFの方向の差だから
頂点Cの外角。だから、

θ=頂点Cの外角=180°- 頂点Cの内角(60°)
=120°

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この回答へのお礼

ありがとうございます。

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お礼日時：2015/09/22 21:44

No.2

回答者： yhr2
回答日時：2015/09/11 20:17

頭を整理するために、3次元の直交座標を考え、X-Y平面を水平面に、Z軸を高さ方向にして立方体を置きましょう。

　X軸上に辺BCが、Y軸上に辺BFが来るように置きましょう。
　辺ABがZ軸上に来ます。

　すると、
・点Aの座標は ( 0, 0, 1 )
・点Cの座標は ( 1, 0, 0 )
・点Fの座標は ( 0, 1, 0 )
になります。

　従って、ベクトル AC は ( 1, 0, -1 ) 、ベクトル CF は ( -1, 1, 0 ) 、さらにはベクトル FA は ( 0, -1, 1 ) になることが分かります。

　これから、|AC| = √2、|CF| = √2、|FA| = √2 となることが分かります。
　つまり、三角形 ACF は正三角形です。
　正三角形の2辺のなす角は120°なので、∠ ACF は120°です。