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お世話になります。

「回転の運動方程式とジャイロ効果について」
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/9064408.html
にて質問をさせていただきました。
引き続きよろしくお願いします。

【質問1】
回転の運動方程式
L:基準となる座標系(慣性系)での角運動量
l:回転座標系での角運動量
dL/dt = d l/dt + ω × L = N

からどのようにして
ω × L = N が導き出されるのでしょうか?


※質問2については、自分でも混乱する部分があり、うまく質問を伝えられないかもしれません。
【質問2】
方程式である、
ω × L = N … ①
ω × L = -N ⇒ L × ω = N(アンチトルク) … ②
の読み方として、
① … トルクが発生した時に、トルクと直行するように角速度ωが発生する(歳差運動をする)
② … 角速度ω が発生した時、作用に対してアンチトルクが発生する。

コマの現象を知っていれば、このように方程式を説明できそうですが、
コマの現象を知らず、初めて①、②の方程式を見た時にはそのような説明ができないように思えます。

前回
>本当にそんなモーメントって存在しているのかと疑問になっています。
という質問をしました。

>外力に対して「反作用」を認めた場合のみNにマイナスが付き
>dL/dt = dl /dt + ω×L = -N
>⇒ L × ω = N
となると自分で言いましたが

このコマの歳差運動(プリセッション含む)現象における「反作用」とは一体どこから来るのでしょうか?
つまるところ、
実験として現象として見たときに、偶然反作用として成立してそうだったという訳ではないですよね?


【質問3】
方程式①、②の使いどころがいまいち分かりません。

高速回転するコマをそっと机に置いて歳差運動をしている様は分かりそうな気がします。

式① : 重力がトルクとなり(N = r × F = mgℓ)、角速度ωを軸にして歳差運動をします。
式②:角速度ωが生じたことで、反作用としてアンチトルクが発生。
この場合、重力という作用に対してアンチトルクが打ち消し合います。
( L × ω と r × F が等価な値として扱われる。)

では、
船に高速回転するコマ(ジャイロ)を載せた場合
考え方のスタート地点が難しいです。

外力によって、Y軸まわりにプリセッションを起こす。
N(アンチトルク) = L × θ
( X軸まわりをΦ、Y軸まわりをθ、Z軸まわりをφ)
外力を N = r × F とするのか、
いやいや、外力によって既に角速度Φを発生させているのだから、 N = L × Φ とするのか。


質問が長くなりましたが、よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    回答ありがとうございます

    実は私もこのページを参考にさせていただいたのですが、
    時間微分項が0になるため ω × L = T になるという説明が納得できないのです

    dL /dt = dl /dt + ω × L = T
    時間微分項が0であれば、
    dl/dt =0 → ω × L = T と説明していますが

    基準座標系(慣性系)での dL/dt も0 となり
    結局 dL/dt = T = 0 → ω × L = 0

    矛盾しているように思えるのです

    No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/21 17:03
  • うーん・・・

    つまりそれは 角運動量L = 一定 であっても
    慣性座標系 dL/dt ≠ 0 であり
    回転座標系 dl/dt = 0
    ということを言っているのですね?

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/21 18:47
  • うーん・・・

    回答ありがとうございます。

    コマの回転が一定であれば、
    双方の座標系での角運動量ベクトルの「大きさ」は一定です。
    違いはベクトルの「方向」です。
    確かに、
    回転座標系の観測者からすれば、角運動量ベクトルの方向は変化しません。
    慣性座標系の観測者では方向は変化して見えます。

    一定な値でありながら、その時間変化は ≠0 という数学的にイメージがつかみにくいのですが、

    ベクトルの方向が時間変化するものを「一定の値をもつベクトル量」だと捉えて良いものなのでしょうか?

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/21 20:49
  • うーん・・・

    回答ありがとうございます。

    > dL/dtはベクトルに対する時間微分ですから、方向が時間で変われば0ではないです。

    L = 一定 であれば
    本来?数学的には一定の値の微分、時間変化とは0になります。
    しかし実際には ≠ 0 です。

    矛盾はしていないのでしょうか?

    No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2015/09/22 06:39

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A 回答 (8件)

上手く整理できませんが、参考になればと思い、長文ですが書いてみました。




>【質問1】どのようにして
>ω × L = N が導き出されるのでしょうか?

dL/dt = dl/dt + ω × L = N  (1)

 この運動方程式が成立すれば、回転体の回転軸を基準とする「回転座標」から見れば、角運動量「l」に変化はありませんから、dl/dt = 0 です。
 従って、ごく単純に
  N = ω × L
が導かれると思います。

 ここでは、回転運動をしているものに、何らかの外力が働くことを想定していますよね?
 外力がなければ、dL/dt = N = 0 (角運動量一定)ですが、外力(トルク N )が働けば
  N = ω × L
で角運動量 L から決まる角速度 ω が発生するということです。
 ここでの「 ω 」は、回転体のもともとの回転の角速度ではなく、外力(トルク N )によって発生する回転の角速度です。

 「どちらの座標系でも角運動量は一定」とお考えのようですが、(1)式はそうではありません。慣性座標系では、外力(トルク N )に対応して「角運動量 L」そのものが変化するということですし、回転座標系ではもともとの回転による「角運動量 l」は変化せずに新たな要素「 ω × L 」が付加されるということです。
 どちらも「一定」ではなく変化するということです。

(No.3に対する補足)
>回転座標系の観測者からすれば、角運動量ベクトルの方向は変化しません。
>慣性座標系の観測者では方向は変化して見えます。

 上に書いたように、「もともとの角運動量が変化する」とみるか、「もともとの角運動量に対して、別な物理量が付加される」と見るかの違いだと思います。

(No.6に対する補足)
>L = 一定 であれば
>本来?数学的には一定の値の微分、時間変化とは0になります。
>しかし実際には ≠ 0 です。
>
>矛盾はしていないのでしょうか?

 上に書いたように、「L」は一定ではありません。一定なら何も変化しません。
 外力=トルク N を加える、という条件ですよね。


>【質問2】
>方程式である、
>ω × L = N … ①
>ω × L = -N ⇒ L × ω = N(アンチトルク) … ②
>の読み方として、
>① … トルクが発生した時に、トルクと直行するように角速度ωが発生する(歳差運動をする)
>② … 角速度ω が発生した時、作用に対してアンチトルクが発生する。

おっしゃる意味がいま一つ分かりませんが、
①外力(トルク)を与えた場合
②新たな回転(角速度ω)を与えたときに発生するトルク
という意味でしょうか。
 つまり、電磁気学の「フレミング右手の法則」(運動を与えて起電力を発生させる)場合と「フレミング左手の法則」(電流を与えて力を発生させる)場合のような関係。

 No.1さんが紹介されている資料の図13が、まさしくそれを説明しているように思います。

 ①が図13(a)「プリセッション」の場合で、重力に相当する外力FをトルクT(=Y軸周りの回転)として与えた場合の、Z軸周りの回転(角速度Ω)の発生。(これは図11でも同様)

 ②が図13(b)「ジャイロ効果」の場合で、Z軸(回転の角運動量 H =X軸に垂直ならどの方向でもよい)周りに回転(角速度Ω)を与えた場合の、トルクT(=Y軸周りの回転)の発生。

>このコマの歳差運動(プリセッション含む)現象における「反作用」とは一体どこから来るのでしょうか?
>つまるところ、
>実験として現象として見たときに、偶然反作用として成立してそうだったという訳ではないですよね?

 反作用というよりも、「何を変化させて、その結果何を生じさせるか」の「原因と結果の関係」だと思います。
 上に書いたように、「重力」という外力に起因する「プリセッション」つまり「新たな回転運動の発生」と、「回転運動を与える」ことに起因する「トルク(外力)の発生」との違いです。

>前回
>>本当にそんなモーメントって存在しているのかと疑問になっています。
>という質問をしました。

 上のように、慣性座標系から見ても回転座標系から見ても、明らか存在しています。


>【質問3】
>方程式①、②の使いどころがいまいち分かりません。

 「質問2」に書いたような「原因と結果」を考れば、使いどころと使い分けができるのではないでしょうか。

>式① : 重力がトルクとなり(N = r × F = mgl)、角速度ωを軸にして歳差運動をします。
>式②:角速度ωが生じたことで、反作用としてアンチトルクが発生。

 式①により、初期状態の回転軸の傾きのまま、永久に歳差運動を維持します。式②による「反作用としてのアンチトルク」は、回転軸を水平にしようとする重力に対する反作用として作用し、そのまま回転軸の傾きを維持します。

>船に高速回転するコマ(ジャイロ)を載せた場合
>考え方のスタート地点が難しいです。

 「回転軸方向初期状態の維持」と考えればよいのではないでしょうか。
 ジャイロコンパスのように、姿勢に変位が生じた場合に、
(1)変位から角速度ωが生じると、式②によって発生する「アンチトルク」を利用して重りを移動させ、
(2)その重りと重力によって発生するトルクを使用して、式①によって歳差運動を発生させて、生じた回転運動で変位を元に戻す
というようなことをするのだと思います。

 ベクトルの向き(これが直接の力や速度の向きではなく、力や速度を回転方向とした回転軸の向きなのでややこしいです)が単純ではないので、なかなか直観的に理解するのが難しいですが。

>外力によって、Y軸まわりにプリセッションを起こす。
>N(アンチトルク) = L × θ
>( X軸まわりをΦ、Y軸まわりをθ、Z軸まわりをφ)

 図13(a)で言えば、外力によってトルクを与えるのがY軸、プリセッションが発生するのはZ軸です。

 トルク N は(与えるのでアンチトルクではないですね)、式①を用いて、プリセッションの角速度は Z軸周りですから
  N = ω × L = dφ/dt × L
となります。

>外力を N = r × F とするのか

 トルク N が、腕の長さ r に働く力 F によるモーメントならそうです。

>いやいや、外力によって既に角速度Φを発生させているのだから、 N = L × Φ とするのか。

 どこの角速度ですか? 「 X軸まわり(の角度)をΦ」の「Φ」なら、外力を加える前の回転運動ですから、外力には関係ありません。
 仮にこれだとしても、角速度なら「dΦ/dt」です。
 トルクをY軸周りの回転として表現するなら、慣性モーメント I を使って
  N = I ・d^2θ/dt^2
となるのでしょう(少なくとも、力に相当するものなので、変位の2回微分のはず)。ここでは慣性モーメント I は不明です。


 回転運動はいろいろとややこしいので、ゆっくり整理しながら考えてみてください。
 私も、どこかでポカや考え違いをしているかもしれませんが。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

なかなか質問をうまく伝えられず困惑させてしまうところもありましたが、
詳しくお答えいただきとても勉強になります。

dL/dt = dl/dt + ω × L = N
という回転の運動方程式は理解すればするほど奥が深いなと思いました。

質問がだいぶ長くなってしまいましたので、
これまでの内容を整理し直し、分からない部分を改めて投稿したいと思います。

お礼日時:2015/09/24 00:44

No.7さんの解説で合っていると思います。


慣性系から見たdL/dtは、回転系のdl/dtにプリセッションのトルクN=ω×L(×はベクトル積)が足されたものになります。
回転系のdl/dt=0ならば、dL/dt=N=ω×Lとなります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>回転座標系に対するdl/dtは、方向が一定ですから、角速度が一定ならば、時間変化はありませんから、0になります。

回転の運動方程式における「一定」という言葉の意味を理解するのにずいぶんと時間がかかってしまいました。
L = 一定の値として見てしまっていたのが間違いの原因でした。

(間違い)dl/dt = 0 なのだから、 L = 一定でなければいけない

(正解) L は一定値ではありません。 大きさは一定ですが、慣性座標系では方向が変化します。
回転座標系では方向は常に変化しません。

分かります!

長くなってしまいましたので、質問を整理し直します。
ありがとうございました!

お礼日時:2015/09/24 00:31

補足に対して回答します。


dL/dtは、ベクトルに対する時間微分ですから、方向が時間で変れば0では無いです。
回転座標系に対するdl/dtは、方向が一定ですから、角速度が一定ならば、時間変化はありませんから、0になります。
当然ながら、コマが垂直に回転している場合は、ω、Lのベクトルの向きは回転軸方向ですから、慣性座標系でもベクトルの向きはZ方向となり、一致します。
したがって、ベクトル積は0となり、全て0になります。
この回答への補足あり
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多分、いろいろ混同してしまっているんだと思います。

(回転体の回転に対する角速度ベクトルωとプリセッションの角速度ベクトルωは違います)
同じ資料を参照されているならば、図10と図11ではωの方向が違う事がわかると思います。
図11ではプリセッションのωの向きはx-y平面に平行な方向です。
図11のベクトル積の方向を考えると、プリセッションの角速度ベクトルが回転体の回転軸を回転させる方向に向いているのがわかると思います。
説明が難しいですが、プリセッションの角速度ベクトルωは、回転体の回転軸をZ軸に向ける方向に向いています。
これが、プリセッションの角速度ベクトルωと直行する重力の向きとバランスしているので、歳差運動をする事になります。(x-y平面と平行な円の軌道で回転体の回転軸が回転します)
プリセッションのω×H=Tですから、回転の一瞬を捉えた時は回転中心軸を原点0として、プリセッションのωはx-y平面に平行にZ軸に向かっている(仮にこの向きをx軸とします)とすると、ωとHのベクトル積の方向はz-x平面に垂直な方向(この場合はy軸に向く)となり、これがTの方向です。
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訂正します。


「慣性座標系の角運動量も回転座標系の角運動量も一緒ですが」→「慣性座標系の角運動量も回転座標系の角運動量も一定ですが」です。
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そういう事です。


一定なのは、慣性座標系の角運動量も回転座標系の角運動量も一緒ですが、回転座標系は回転体の回転と同じ角速度で慣性座標系に対して回転しています。(つまり、回転座標系に対して、回転体は回転していないと言う事です)
この回答への補足あり
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何か誤解されているようですが、0になるのは、回転座標系のdl/dtですよ。


回転座標系は、回転体の回転と同期しているので、回転体に対して静止しているのと同じ事です。
つまり、dlの変化は無いんですよ。
当然、慣性座標系からは、回転体は回転していますから、dL/dt≠0です。
この回答への補足あり
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基本的には、角運動量ベクトルや角速度ベクトルや外力のベクトルの向きで考えるしか無いです。


以下のリンクは、かなり詳細に解説されていると思いますので、一度目を通して見ると良いでしょう。
http://knock.t.u-tokyo.ac.jp/lecture/pdf_data01/ …
この回答への補足あり
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Q慣性モーメントの単位

慣性モーメント単位が kgf・m^2 と表されているのですが、なぜ kgf なのでしょうか?
また、単位変換して kg・m^2 にするにはどうすればよいのでしょうか?
どなたか、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

SI単位系では、慣性モーメントの単位はkg・m^2です。
ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
これをGD2で表すと、1/2WD^2(W:重量、D:直径,単位はkgf・m^2)となります。重量は質量と値は等しいですが"質量"ではなく力です。つまり、質量に重力加速度がかかっています。ですから、慣性モーメントにするにはgで割る必要があります。また、直径の2乗で定義されてるから、半径の2乗に直すためさらに4で割ります。
それで、単位がkgf・m^2
からkgf・m・s^2となるわけです。ですが、相変わらず
kgfが入っているのでこれをSI単位に変換するには、
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参考URL:http://www.keiryou-keisoku.co.jp/databank/kokusai/torukusi/torukusi.htm

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ですが、重量単位系:力をW(kgf)として、力の単位にN(ニュートン)を用いないで慣性モーメントを定義する場合にkgfが現れます。それでも、慣性モーメントの単位はkgf・m・s^2です。ではkgf・m^2とは何なのかというと、GD2(ジーディースクエア)といって、正式には慣性モーメントではないが慣性モーメントの前段階のような値、ということです。例えば、円柱の上下方向の慣性モーメントはSI単位系では1/2MR^2(M:質量、R:半径、単位はkg・m^2)ですけど
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Qトルクと角速度の時間的な関係について

お世話になります。

過去に何度も同じような質問をしましたが、改めてよろしくお願いします。
回転しているジャイロ(コマ)にトルクをかける話です。

トルクTxを与えると角速度θ/dtが発生します。これがプリセッションです。
②の方程式の通り、Txとθ/dtは同時に発生していることが分かります。

質問)
①の方程式について、
与えるTxに対して、x軸回りの角速度φ/dtは同時に発生しているのでしょうか?


一方、角速度を与えてトルクを発生させることをジャイロ効果と言いました。

この質問の意図は、
トルクTxによって発生した角速度φ/dtによって、トルクTyが発生するという関係式④
L × φ/dt = Ty 証明したいのです。

①、②,③,④は同時に成り立つ方程式なのだろうかという質問です。

※①、③の微分の中身のφ、θにはドットが付いてます。見づらくてすみません。

Aベストアンサー

No.1です。何度もすみません。「補足」に書かれたことについて。

 私の理解が間違っているのか、質問者さんの意図を正しく理解できていないのか、よくは分かりませんが、お示しの説明であれば、事象の発生する順序(因果関係)は、

(1)トルク Tx が起因となる外力。
  ↓
(2)この外力 Tx による運動方程式が①式。
  ↓
(3)このトルク Tx による角加速度「d^2φ/dt^2」(①式ではドット付きφの一次微分で表記)により、x軸周りの回転運動が発生。
  ↓
(4)x軸周りの回転運動の角速度 dφ/dt とコマの角運動量 L とにより、④式によってトルク Ty が発生。
  ↓
(5)このトルク Ty による運動方程式が③式。
  ↓
(6)このトルク Ty による角加速度「d^2θ/dt^2」(③式ではドット付きθの一次微分で表記)により、y軸周りの回転運動が発生。
  ↓
(7)y軸周りの回転運動の角速度 dθ/dt とコマの角運動量 L とにより、②式によってトルク Tx2 が発生。この「トルク Tx2 」は①式の「Tx」とは異なる。方向は逆向き。
  ↓
(8)以下、トルク「 -Tx2」による運動方程式を書いて(2)以下を繰り返し。


 つまり、事象の進展は①→④→③→②の順であり、しかも①と②の「Tx」は同じものではない、というのが私の見解です。
 質問者さんの疑問は、「①と②の「Tx」が同じ」と思い込んでいるところにも起因しているような気がします。

 なお、①→④→③→②は厳密に言えば「同時」ではなく、この因果関係で進展しますが、それは「光速度で伝播する近接作用」なので近似的には(ニュートン力学としては)「同時」と言って構わないと思います。

 質問者さんのおっしゃる「①式の角速度dφ/dtはdt秒後にしか発生できない」の「dt秒後」とは「dt→0」の極限の話ですよね? 「微分」とはそういうことですから。


ついでに。

>実は、もともと回転の運動方程式から導き出された ω × L = Tという式が、
>作用に対する反作用があるがために、「-T」であり、結果 L × ω = T という、
>世間でも割と知れ渡っている話が、どうも非論理的な感じがして納得できませんでした。

 いいえ、神の見えざる手による「反作用」ではなく、上に書いたようにきちんと力学の法則にのっとった「反対向きの力」が発生するのです。

 電磁気における、「電流→磁界が発生→磁界による誘導起電力が発生→誘導起電力による逆向きの電流が発生→(繰り返し)」や「電磁波の進行」というのと同じようなことでしょう。
 相互作用が、一方通行ではなく、行きつ戻りつ起こるということだと思います。

No.1です。何度もすみません。「補足」に書かれたことについて。

 私の理解が間違っているのか、質問者さんの意図を正しく理解できていないのか、よくは分かりませんが、お示しの説明であれば、事象の発生する順序(因果関係)は、

(1)トルク Tx が起因となる外力。
  ↓
(2)この外力 Tx による運動方程式が①式。
  ↓
(3)このトルク Tx による角加速度「d^2φ/dt^2」(①式ではドット付きφの一次微分で表記)により、x軸周りの回転運動が発生。
  ↓
(4)x軸周りの回転運動の角速度 dφ/dt とコマ...続きを読む

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
...続きを読む

Qモーメントとトルクの違い

(支点からの距離)×(力の大きさ)…互いに垂直な場合
を、高校や大学では「モーメント」と習いました。
しかし職場(機械を作る会社)では「トルク」と呼んでいるようですが確信が持てません。
高校や大学での「モーメント」と職場での「トルク」は同じでしょうか。
同じだとしたら何故このような違いが生じたのでしょうか。

ちなみに職場で「モーメント」と言えば大学で習った慣性モーメントIのことです。

Aベストアンサー

> (支点からの距離)×(力の大きさ)…互いに垂直な場合
> を、高校や大学では「モーメント」と習いました。

正確に言えば,これは「力の(1次の)モーメント」です.
機械関係では,これをトルクと呼んでいるようです
(固定軸周りのときに限る?).

モーメントというのは,
単に力のモーメントや慣性モーメントだけを意味するのではなく,
もっと広い概念です.
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=784419
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=265077
などをご覧下さい.

> ちなみに職場で「モーメント」と言えば大学で習った慣性モーメントIのことです。
多分,慣習的な呼び方なんでしょうね.
私は物理屋ですが,誤解のおそれがないときは慣性モーメントのことを
単にモーメントということもあります.

QNをkgに換算するには?

ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?一応断面積は40mm^2です。
1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?
ただ、式の意味がイマイチ理解できないので解説付きでご回答頂けると幸いです。
どなたか、わかる方よろしくお願いします。

Aベストアンサー

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kgfです。

重力は万有引力の一種ですから、おもりにも試験片にも、地球からの重力はかかります。
しかし、試験片の片方が固定されているため、見かけ、無重力で、試験片だけに40kgfの力だけがかかっているのと同じ状況になります。

試験片にかかる引っ張り力は、

40kgf = 40kg×重力加速度
 = 40kg×9.8m/s^2
 = だいたい400N

あるいは、
102グラム(0.102kg)の物体にかかる重力が1Nなので、
40kg ÷ 0.102kg/N = だいたい400N


>>>1N=9.8kgfなので、「40kg=N×0.98」でいいのでしょうか?

いえ。
1kgf = 9.8N
ですね。


>>>一応断面積は40mm^2です。

力だけでなく、引っ張り応力を求めたいのでしょうか。
そうであれば、400Nを断面積で割るだけです。
400N/40mm^2 = 10N/mm^2 = 10^7 N/m^2
1N/m^2 の応力、圧力を1Pa(パスカル)と言いますから、
10^7 Pa (1千万パスカル) ですね。

こんにちは。

kgfはSI単位ではないですが、質量の数値をそのまま重さとして考えることができるのがメリットですね。


>>>
ある試験片に40kgの重りをつけた時の荷重は何Nをかけてあげると、重り40kgをつけたときの荷重と同等になるのでしょうか?

なんか、日本語が変ですね。
「ある試験片に40kgの重りをつけた時の引っ張りの力は何Nの力で引っ張るのと同じですか?」
ということですか?

・・・であるとして、回答します。

40kgのおもりなので、「おもりにかかる重力」は40kg...続きを読む

Q歳差運動(コマ)における角運動量の方向について

基本的な事と思いますが、質問をさせていただきます。

角運動量を“L”とし、位置ベクトルを“r”、運動量ベクトルを“mv”としたときに、L=r×mvとなると思います。その方向は、外積として定義され、“r”と“mv”の両方に垂直な方向と認識しております。

しかし、教科書に掲載されているコマの歳差運動の解説によると、「こまの支点がx-y平面上で動かないときに、角運動量の方向は重心の位置ベクトルを“rG”の方向と一致とする」と記載されています。そもそも、角運動量の式によれば、L=rG×mvとなり、“rG”にも垂直で、方向は一致しないのではないかと思っています。その解説をしてもらえると助かります。

さらに、支点に作用する抗力を“R”とし、その垂直成分を“RL”とした場合には、こまの重力“Mg”と等しく偶力が形成されると思います。その偶力モーメントは“N=rG×Mg”であり、トルクの方向は“rG”“g”に垂直であることは理解できるのですが、そもそもモーメント(トルク)は角運動量の時間的な変化量と認識しており、モーメントと角運動量は同じ方向になるのではないかと思うのですが、併せて解説をいただけると助かります。

質問に、前提条件等の記載漏れがあるかもしれませんし、大変基礎的な質問かもしれませんが、解説のほどよろしくお願いします。

基本的な事と思いますが、質問をさせていただきます。

角運動量を“L”とし、位置ベクトルを“r”、運動量ベクトルを“mv”としたときに、L=r×mvとなると思います。その方向は、外積として定義され、“r”と“mv”の両方に垂直な方向と認識しております。

しかし、教科書に掲載されているコマの歳差運動の解説によると、「こまの支点がx-y平面上で動かないときに、角運動量の方向は重心の位置ベクトルを“rG”の方向と一致とする」と記載されています。そもそも、角運動量の式によれば、L=rG×mvとなり、“rG”にも垂...続きを読む

Aベストアンサー

#3への「補足」に対して

>『Li と Lj は・・・

図を描いてお考えになるとよいと思いますが、ここでは式で説明します。

i と j を結ぶ直線と回転軸との交点の位置ベクトルを p とすると、回転軸に垂直なベクトル q を使って
ri = p + q
rj = p - q
と書くことができます。これらを使うと
Li = ri×(mi vi)
  = mi(p + q)×vi
  = mi(p×vi + q×vi)、 (1)
Lj = rj×(mj vj)
  = mj(p - q)×vj
  = mj(p×vj - q×vj)
となりますが、Lj の式で mj = mi、vj = -vi なので
Lj = mi(-p×vi + q×vi)  (2)
です。
(1)式と(2)式を比べると、p を含む項は大きさが同じで符号が逆(つまりベクトルの方向が逆)です。これに対して、q を含む項はまったく同じです。よって、Li と Lj を加えると、p を含む項は打ち消し合い、q を含む項は2倍になります。式で書くと
Li + Lj = 2 mi q×vi
です。ここで、q は回転軸に垂直で、vi は回転軸と q の両方に垂直ですから、q×vi は回転軸に平行です。回転軸に垂直な成分は p×vi に含まれていたのですが、すでに述べましたように、和をとる過程で消えてしまったわけです。

>“v”とは

#3の(3),(4)式における v は、仮に vi が i によらず一定であるとした場合のその一定の速度のことですから、回転しているコマの場合には対応するものはありません。

#3への「補足」に対して

>『Li と Lj は・・・

図を描いてお考えになるとよいと思いますが、ここでは式で説明します。

i と j を結ぶ直線と回転軸との交点の位置ベクトルを p とすると、回転軸に垂直なベクトル q を使って
ri = p + q
rj = p - q
と書くことができます。これらを使うと
Li = ri×(mi vi)
  = mi(p + q)×vi
  = mi(p×vi + q×vi)、 (1)
Lj = rj×(mj vj)
  = mj(p - q)×vj
  = mj(p×vj - q×vj)
となりますが、Lj の式で mj = mi、vj = -vi なので
Lj = mi(-p×vi + q×vi)  (2)
です...続きを読む

Qプレセッションの大きさは

科学館で自転車のタイヤを回して、持っている車軸を
他の方向へ向けようとしても、おかしな方へ方向修正
されてしまいました。かなりの力のような気がしましたが
手で車輪を回した程度でもハッキリわかる力なのに
あの力の大きさがどのくらいか計算出来る式がなかなか
見つかりません。人に聞くとプロペラの飛行機もあの
力の影響を受けているとか。とても興味があります。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

No.1です。「お礼」に書かれたことについて。

>プレセッションという現象で、もうちょっと不思議な動きのことをいうのです。

「プレセッション」「プリセッション」とは「歳差」「歳差運動」のことであり、No.1に書いたとおり、いわゆる「回転するコマの運動」、「ジャイロ効果」と同じことです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%B3%E5%B7%AE

質問者さんは、この中で特に「回転しているものに、回転の軸方向と角度を成す方向の力を加えると、加えた力と回転軸方向の力とを合成した、意図しない方向の力が働く」ことに驚かれているのだと思います。
このときの「回転軸方向の力」が、「力のモーメント」と呼ばれ、「角運動量」に関連した物理量です。
 再掲します。
  ↓
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8A%9B%E3%81%AE%E3%83%A2%E3%83%BC%E3%83%A1%E3%83%B3%E3%83%88

一般の「直進運動」の運動方程式は、ベクトルを文字の後の「→」で示すと、力 F→、質量m 、速度v→ に対して

   F→ = m*a→ = m*(dv→/dt) = d(m*v→)/dt = dp→/dt

となり、このときの「p→」が「運動量」です( p→ = m*v→ )。つまり、運動方向(v→)と力(F→)はベクトルの向きが同一です。

これに対して、「回転運動」では、運動方程式は、力のモーメントをN→、角運動量を L→ = r→ × p→(ベクトルの外積)として

   N→ = r→ × F→ = r→ × (dp→/dt) = dL→/dt

となり、「力のモーメント」(N→)は、回転方向(p→)、径方向(r→)に直交する方向、つまり回転軸の方向となります。

これらの物理量を使って、質問者さんのおっしゃる「プレセッション」の方向と大きさを求めることができます。

No.1です。「お礼」に書かれたことについて。

>プレセッションという現象で、もうちょっと不思議な動きのことをいうのです。

「プレセッション」「プリセッション」とは「歳差」「歳差運動」のことであり、No.1に書いたとおり、いわゆる「回転するコマの運動」、「ジャイロ効果」と同じことです。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%B3%E5%B7%AE

質問者さんは、この中で特に「回転しているものに、回転の軸方向と角度を成す方向の力を加えると、加えた力と回転軸方向の力とを合成した、意図しない方向の力...続きを読む

Q角加速度とトルクと慣性モーメントの関係

トルクを慣性モーメントで割ると角加速度が出ると思うのですが
どうして出るのでしょうか?
トルク:N
角加速度:α
慣性モーメント:I
式はN=α・I
単位だけで見ると
N・m = rad/s^2 × kg・m^2
で一見関係が無いように見えますが・・・
感覚的に、軽くて小さなものと重くて平べったいものを同じスピード(加速度)で回すときは
後者の方がかなり力がいるのはわかるのですが・・・
式から関係性が見えません・・・
どなたかご存知の方、詳しい方、ご教示いただけますでしょうか?

Aベストアンサー

単位だけに注目します。

1Nは1kgの質量の物体を1m/s^2で加速させる力の大きさです。
つまり
1N=1kg・m/s^2

つまりトルクの単位は
N・m=kg・m/s^2・m=kg・m^2/s^2
となります。

慣性モーメントと角加速度の積は
kg・m^2・rad/s^2
となりますが、角度の単位radは無次元量(長さを長さでわったものだから)ですので無視できます。つまりこの積は
kg・m^2/s^2
とあらわせることになり、これはトルクの単位と等しいことがわかります。

Q角運動量保存の法則について

お世話になります。

wikiを参照させていただきます。
「角運動量保存の法則」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
「ジャイロ効果」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%AD%E5%8A%B9%E6%9E%9C

回転している物体の回転軸を傾けようとする力(作用)が働くと、
元あった角運動量を保存するように反作用が起こる。

という話は、上記の2つのどちらに当てはまる話でしょうか?


あと余談として、質問になるのかどうか分かりませんが、
3つの保存則(角運動量、エネルギー、運動量)は、
物体の運動を考える(事象をとらえる)上で、順位的に「角運動量の保存則が最も強みを持っている」
とチラっと聞いたのですが、本当でしょうか(なぜですか)?

お世話になります。

wikiを参照させていただきます。
「角運動量保存の法則」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
「ジャイロ効果」
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B8%E3%83%A3%E3%82%A4%E3%83%AD%E5%8A%B9%E6%9E%9C

回転している物体の回転軸を傾けようとする力(作用)が働くと、
元あった角運動量を保存するように反作用が起こる。

という話は、上記の2つのどちらに当てはまる話でしょうか?


あと...続きを読む

Aベストアンサー

No.1&3 です。「補足」に書かれている諸々のことについて。

>角運動量保存の法則における、作用反作用をもっと知る必要がありそうです

 「角運動量保存」は、通常の「運動量保存」と同様、No.1に書いたように「ニュートンの運動方程式」(運動の第2法則)から直接導かれます。

 これに対して、「作用反作用」は「運動の第3法則」であり、「ニュートンの運動方程式」(運動の第2法則)から直接導き出されるものではないと思います。

 No.3で安易に「作用」「反作用」と書いてしまいましたが、これは間違いで、プリセッションやジャイロは、「作用反作用」ではなく、単純な「運動方程式に従った、作用に対する運動の変化」(運動量の変化)と言うべきでした。
 従って、

>角運動量保存の法則とは
>(重心を除き)作用が働くと、元あった角運動量を保存するように反作用が起こる
>「作用に対して"必ず"反作用が起きる」という性質がある

というものではなく、「元あった角運動量が、運動方程式に従って変化する」ということです。

 つまり、直進運動における「運動量保存則」が、
(1)外力が働かなければ、一定速度(一定運動量)で運動する
(2)外力(外部からの作用)が働くと、作用分だけ元の運動量が変化し、変化後の運動量で運動する。(運動の方向や速さが変わる)
ということと同じだと思います。

 直線運動の場合には、「作用」ベクトルと、「運動量ベクトルの変化」の方向は一致しますが、回転運動の場合には「ベクトルの外積」なので方向が一致しません。このために「反作用」という発想をされているのではないか、と想像します。違っていたらすみません。


>厳密に言ってしまうと、プリセッションが起こらなければ反作用など起きるはずもない

 ちょっと違うと思います。「プリセッション」自体が、「作用による元の角運動量の変化」という「結果」ですから。


>プリセッションについては、トルク(作用)を与えて、角速度を発生させる
>ジャイロ効果ついては、角速度を与えて、トルク(反作用)を発生させる

>結局のところ、ベクトルの関係を分かりすくしたもので、
>双方とも現象としてはまったく同じものですよね?
>(発生した角速度をトルクの式として書き直すことが許されるのであれば...)

 はい。上に書いたように、いずれも「元の角運動量が、作用によって変化する」ということですから。
 「角速度」と「トルク」の関係は、直進運動での「速度」と「力」の関係と同じです。


>この回転運動の世界において、左手の法則を持ち出すことは正しいのだろうかとふと疑問に思いました。

 混乱させてすいません。「フレミング右手/左手の法則」は、「原因」と「結果」をひっくり返した場合の例として持ち出しただけで、回転運動自体にこのような「右手・左手」の法則があるわけではありません。


 以上、いろいろ書きましたが、回転運動については、「角運動量ベクトル」、「外力(モーメント、トルク)ベクトル」、この2つに直交する「回転軸の運動」ベクトルの三者間のベクトル関係で、全て求まると思います。
 ベクトルの「外積」なので、「原因」と「結果」を入れ替えると、「右手・左手」のように正負の関係が逆になります。

No.1&3 です。「補足」に書かれている諸々のことについて。

>角運動量保存の法則における、作用反作用をもっと知る必要がありそうです

 「角運動量保存」は、通常の「運動量保存」と同様、No.1に書いたように「ニュートンの運動方程式」(運動の第2法則)から直接導かれます。

 これに対して、「作用反作用」は「運動の第3法則」であり、「ニュートンの運動方程式」(運動の第2法則)から直接導き出されるものではないと思います。

 No.3で安易に「作用」「反作用」と書いてしまいましたが、これは間違い...続きを読む

Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)


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