三角関数の性質について

sin21/4π の値を求める問題なんですが・・・
解き方が　ｓｉｎ（5/4π＋4π）＝sin5/4π＝sin（π/4+π）
＝－sinπ/4＝－1/√2

となりますが・・・全然わかりません。2行目のｓｉｎ（5/4π＋4π）とありますが・・・5/4πと4πは、どこから出てくるのですか？？どうやって求めるのですか？教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： sakura_214 回答日時： 2004/07/04 00:39

ある角度に2π＝360°の整数倍の数を加えてsinやcosなどを計算しても１周して元の角度になっているだけでなので値は変わりません．

この問題では，分数を普通に帯分数にして21/4=5+(1/4)とも書けますが，とりあえず周回分の余計な2πの整数倍をまず除くために，整数部分は5とせず4として残りを後ろに足しているだけです．つまり
21/4=5+(1/4)
とせず，とりあえず
21/4=4+(5/4)
として余計な4πを除いています．

この回答への補足

ありがとうございます！

次にｓｉｎ（5/4π＋4π）＝sin5/4π　の計算がわかりません。なぜsin5/4πになるのですか？

公式に当てはめてみましたが・・・よくわかりませんでした。スイマセン教えてください

それと最終的に、なぜ-1/√2になるのか、さっぱりわかりません。どうやって計算するのですか？

補足日時：2004/07/04 02:01

No.6 回答者： springside 回答日時： 2004/07/04 10:39

すでに解答がありますが。

あまり難しく考えない方がいいです。ようするに、sinやcosは、2π（つまり360°←円の１周ですね）だけずれても同じ値になる、というだけのことです。

例えば、
sin{(1/2)π}
=sin{(1/2)π+2π}
=sin{(1/2)π+4π}
=sin{(1/2)π+6π}
=・・・
です。

これを踏まえて(21/4)πを分解しますが、(21/4)πの中に2πがいくつあるかを考えればよいのです。（2πずれてもどうせ同じ値になるから）

(21/4)π
=(13/4)π+2π
=(5/4)π+2π+2π
=(5/4)π+4π

よって、sin{(21/4)π}
=sin{(5/4)π+4π}
=sin{(5/4)π}
です。

No.5 回答者： itochanda 回答日時： 2004/07/04 09:39

ふつうは21/4π＝（5＋1/4）π　としたいところです。

ですが、sin（θ＋2nπ）＝sinθ　（nは任意の整数）
という性質（2πというのは360度、だからｎ回転したものは同じところに戻るを意味する）にあてはめるため、πで割った余りより、2πで割った余りが重要です。

21/4π＝｛1/4＋（1＋4）｝π＝｛（1/4＋1）＋4｝π
とします。（4π＝2×2πはわかりますよね）

あとでsin（π/4+π）という風に5/4πを更に分けてますから不親切といえば不親切です。

したがって、
ｓｉｎ（21/4π）＝ｓｉｎ｛（1＋1/4）π｝
　　　　　　　　＝ｓｉｎ（1/4π＋π）

πというのは2πの半分、つまり180度です。
＋180度で第１象限の角度は第３象限に、第２象限の角度は第４象限に（以下省略）移動しますよね。
ｓｉｎ（θ＋π）＝－ｓｉｎθです。（図を意識しながら覚える）

で、与式＝－ｓｉｎ（π/4）　まできました。
最後のｓｉｎ（π/4）＝1/√2　は・・・
π/4は45度です。直角２等辺三角形です。ｓｉｎの定義から、図を書けばわかるはずです。

全体的に、ラジアンの角度と度数の変換、図を思い浮かべること、で解決するはずです。
最後の具体的な数値は　30度、45度、60度、あとは0度と90度　のパターンだけなので、覚えてしまいましょう。（15度は30度から計算できたりしますが）

No.4 回答者： ma-rusuke 回答日時： 2004/07/04 03:56

　　　sin(5/4π + 4π) = sin( (5/4π+2π) +2π)

公式「sin(θ+2π)=sinθ」を用いると、
　　　sin( (5/4π+2π) +2π) = sin(5/4π+2π)　　(←θ=5/4π+2πとして公式を使う)
さらに、
　　　sin(5/4π +2π) = sin(5/4π)　　　　　　(←θ=5/4πとして公式を使う)
よって、
　　　sin(5/4π + 4π) = sin(5/4π)

おそらく公式「sin(θ+2π)=sinθ」が良くわからないのではないかと思いました。2π＝360°です。sinやcosは360°で一周して同じ値を取る性質があります。例えば、sin(0°)=sin(360°)、sin(30°)=sin(390°)です。この性質を公式にしたものなのです。

単位円上で360°(＝2π)回転するということは、円を一周して同じ場所に戻ってくるということなので、同じ値となるのです。参考URLをご覧になるとわかっていただけるかもしれません。

参考URL：http://www.rd.mmtr.or.jp/~gujohs/gurafu/gurafu.h …

No.3 回答者： edomin 回答日時： 2004/07/04 00:40

「ｓｉｎ（5/4π＋4π）」

これは、問題文から
２１／４π＝５／４π＋１６／４π
１６／４π＝４π
になります。
あとは、＃１の方のとおりです。

この回答への補足

ありがとうございます！

次にｓｉｎ（5/4π＋4π）＝sin5/4π　の計算がわかりません。なぜsin5/4πになるのですか？

公式に当てはめてみましたが・・・よくわかりませんでした。スイマセン教えてください

補足日時：2004/07/04 01:33

No.1 回答者： proto 回答日時： 2004/07/04 00:31

sin(θ+2π)=sinθ

sin(θ+π)=-sinθ
sin(θ+π/2)=cosθ
などを使って計算していきます
逆にこの公式を使うために5/4πと4πのように変形します

この回答への補足

ありがとうございます！

次にｓｉｎ（5/4π＋4π）＝sin5/4π　の計算がわかりません。なぜsin5/4πになるのですか？

公式に当てはめてみましたが・・・よくわかりませんでした。スイマセン教えてください

それと最終的に、なぜ-1/√2になるのか、さっぱりわかりません。どうやって計算するのですか？

補足日時：2004/07/04 01:55