面積の絡んだ極限

曲線C: y^2 = x^(-2n) （但しnは自然数）に接する楕円x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1（但しa,b ＞ 0）の面積をSnとし、その4つの接点を通り、この楕円に外接する"菱型"の面積をTnとする。このとき次の極限値を求めよ:
lim＜n→∞＞ {(√n)Sn / Tn}

この問題、SnやTnを計算しないと解けないのでしょうか。接点をP(p,q)として計算すると非常に手間なのですが。。。
Sn/Tnとは、nを無限に飛ばした時の曲線Cは接線に近似できて、その接線のなすひし形の面積における楕円の面積の割合、つまり、楕円をそのひし形に近似した時の面積の誤差を表してるのかな、と考えられるので、何か、挟み撃ちなどでも解けるのかな、と思ったのですが。

質問者からの補足コメント

• 皆さん、回答ありがとうございます！
  私事ですが、今は個々にお礼をさせていただく時間が無いため、僭越ながら、ここでまとめてお礼申し上げたいと思った次第です。
  13日には改めてお礼させて頂ければ、と考えております。大変身勝手で申し訳ありません。

    補足日時：2016/03/10 21:55

No.2 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2016/03/05 20:49

＞この問題、SnやTnを計算しないと解けないのでしょうか。

接点をP(p,q)として計算すると非常に手間なのですが。。。

接線の公式を知っていれば瞬時に求まります。

楕円x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1上の点P(x,y)における接線は

px/a^2+qy/b^2=1　　（1）

です。

(1)がx軸、y軸と交わる点は(a^2/p,0), (0,b^2/q)

ゆえに

Tn=2a^2b^2/pq

一方

Sn=πab

Ln=√nSn/Tn=√n(π/2)pq/ab　　（2）

とすると

L=lim(n→∞)Lnを求めればよい


この問題で重要な点は主変数が何で従属変数が何かを見極めることです。

対称性を考えて第１象限で考えればよいでしょう。点P(p,q)は

y=x^(-n)　　　　　　　　　　　　　　（3）

上の点でもあり（1）は（3）の共通接線でもあります。

nを決めると（3）は一義的に決まり、（1）を介して決まる楕円は点Pに支配されることが解ります。

点P(p,q)が楕円上にあることにより

p^2/a^2+q^2/b^2=1 (4)

qは

q=p^(-n)　　　　　　　　　　　　　　　　　（5）

によって決まるので、結局楕円を与えるa,bはnとｐによって決まるということが解りますか。従ってa,bをp,nで表し、（2）に代入してlimをとれば結果は出るはずです。

(3)のPにおける接線の傾きは

y'=(-n)x^(-n-1)=-n/p^(n+1)

これは（1）の傾き-pb^2/qa^2に一致することが必要でこれより

-n/p^(n+1)＝-pb^2/qa^2

na^2q=b^2p^(n+2)

(5)を代入して整理すると

b=ap^(-n-1)√n (6)

これを（４）へ代入し(5),(6)を用いてaについて解くと

a^2=p^2(1+n)/n

が導かれ

a=p√[(1+n)/n] (7)

(6)を用いて

b=p^(-n)√(1+n) (8)

(5),(7),(8)を(2)に代入し、整理すると

Ln=√nSn/Tn=√n(π/2)pq/ab=√n(π/2)[p^(1-n)]/[p^(1-n)(1+n)/√ｎ]
=(π/2)[n/(1+n)]

L=lim(n→∞)Ln=π/2 (9)



>Sn/Tnとは、nを無限に飛ばした時の曲線Cは接線に近似できて、その接線のなすひし形の面積における楕円の面積の割合、つまり、楕円をそのひし形に近似した時の面積の誤差を表してるのかな、と考えられるので、何か、挟み撃ちなどでも解けるのかな、と思ったのですが。

考えを数式化し自分で計算してみてください。結果が(9)と一致すれば正解の可能性はあります。

この回答へのお礼

返信がかなり遅くなり、申し訳ありません。

詳細な回答、ありがとうございました。

お礼日時：2016/03/17 14:28

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/03/06 17:30

接点の座標を具体的に求めないで解けるか？

そうですね。。

接点を求めるのが面倒なのは、楕円だからなんで、
座標系全体を、y方向に a/b倍に縮小して、楕円を円に変換してしまうと、少し楽に計算できるように思います。

具体的には、y=(b/a)y' を2つの曲線（楕円と、曲線C）の式に代入して、x-y平面で考える代わりに、x-y'平面で考えることにするわけです。

接線は、この変換を通しても接線のままですし、楕円と菱型の面積の比も保存されるんで、大丈夫です。

あとは、変換後のx-y'平面上の半径a上の点を、
(a*cosθ, a*sinθ)
と置くなりして、
変換後の曲線C
y' = ±a/b*x^(-n)
との共通接線を求めればよい。

実質的に計算が楽になるのかは、少し微妙な気はしますが、楕円を考えなくてよいぶん見通しは良くなるとは思います。

この回答へのお礼

返信がかなり遅れたこと、深くお詫びします。申し訳ありませんでした。
円にしてしまう、という手もあるのですね。ありがとうございました！

お礼日時：2016/03/17 14:23

No.1 回答者： Ae610 回答日時： 2016/03/05 19:33

∴lim[n→∞]{√n・Ｓn/Ｔn}

= π/2

(計算間違えとかが無ければ・・!)

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/03/17 14:29