等号成立条件

【問題】
実数a, b, c, x, y, zが
a^2+b^2-c^2+1=0, x^2+y^2-z^2+1=0, cz＞0
を満たしているとする。このとき不等式
ax+by-cz+1≦0
が成り立つことを証明せよ。また等号が成立するのはa=x, b=y, c=zのときに限ることを示せ。

【質問】
不等号が成り立つことは証明できたのですが、等号が成立するのはa=x, b=y, c=zのときに限るということが上手く示せませんでした。ご教示くださいますようお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 解説は、
  等号が成り立つとき、(a, b, 1)=k(x, y, 1)=(kx, ky, k)
  両辺のz成分を比較して、k=1
  ∴a=x, b=y
  のようになっていたのですが、この考え方がよく分かりません。
  ご教示くださいますようお願いいたします。

    補足日時：2016/04/21 03:56

No.3 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/21 17:05

(a^2+b^2+1)(x^2+y^2+1)≧(ax+by+1)^2

であれば, 等号の成立条件で「ay=bx かつ a=x かつ b=y」は問題ありません.

なお, 解説の
「等号が成り立つとき、(a, b, 1)=k(x, y, 1)=(kx, ky, k)」
は Cauchy-Schwarz の等号成立条件です. ベクトル x, y を導入すると Cauchy-Schwarz の不等式は
||x||^2 ||y||^2 ≧ (x・y)^2
(||x|| は x のノルム, x・y は x と y の内積) と書け, 等号が成り立つ条件は「x と ｙ が平行」です.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ノルムが分からなかったので調べてみたのですが、大学数学の範囲なのですね。
http://mathtrain.jp/lpnorm

＞||x||^2 ||y||^2 ≧ (x・y)^2 ･･･

これは、「シュワルツの不等式の幾何学的な意味」のところに書かれてあることと同じと考えてよいのでしょうか？
http://mathtrain.jp/schwarz

お礼日時：2016/04/22 02:42

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/22 16:21

はい, その「幾何学的な意味」と同じことです.

あと, 「ノルム」は確かに高校では出ないですね. もっと単純に「長さ」って書けばよかったかな....

この回答へのお礼

ありがとうございます。
分かりました。

お礼日時：2016/04/23 11:55

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/21 11:07

それは全然違う. ちょっと考えてほしいんだけど,

a^2+b^2-c^2+1=0, x^2+y^2-z^2+1=0, cz＞0
から
(a^2+b^2-c^2+1)(x^2+y^2-z^2+1)≧(ax+by+1)^2
って導けますか? 左辺は 0 ですよ.

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＞a^2+b^2-c^2+1=0, x^2+y^2-z^2+1=0, cz＞0
から
(a^2+b^2-c^2+1)(x^2+y^2-z^2+1)≧(ax+by+1)^2
って導けますか? 左辺は 0 ですよ.

すみません。
(a^2+b^2+1)(x^2+y^2+1)≧(ax+by+1)^2 の書き間違いでした。
これから、等号が成立するのは ay=bx かつ a=x かつ b=y とすれば問題ないでしょうか？

お礼日時：2016/04/21 16:18

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/04/21 00:45

Cauchy-Schwarz から a=x, b=y は出るのでそれを突っ込めば c=z も出てくる.

この回答へのお礼

ありがとうございます。
シュワルツの不等式 (a^2+b^2-c^2+1)(x^2+y^2-z^2+1)≧(ax+by+1)^2 から、(ay-bx)^2+(a-x)^2+(b-y)^2≧0
よって等号が成立するのは、ay=bx かつ a=x かつ b=y ということでよいのですね。
後は、a=x, b=y と a^2+b^2-c^2+1=0, x^2+y^2-z^2+1=0 から c=z ですね。

お礼日時：2016/04/21 03:55