数学の問題です。円C上にある異なる定点A、Bがあり、また、円C上を動く同点Pがある。三角形ABP

数学の問題です。
円C上にある異なる定点A、Bがあり、また、円C上を動く同点Pがある。
三角形ABPの面積が最大になる時、三角形ＡBPがAP＝BPの二等辺三角形になることを証明せよ、という問題です。

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/22 12:54

No.1です。

No.1に書いたことが直観的に分かっても、それをどうやって証明するかが問題ですよね。
ということで、証明のしかたのひとつを参考まで。

　定点ＡＢが定まれば、動点Ｐの位置によらず
　　∠APB = 一定
になります。

　正弦定理より、円Cの半径を R とすれば
　　AB/sinP = AP/sinB = BP/sinA = 2R　　（１）
となります。

　一方、三角形ABPの面積は、ABを底辺にすれば、高さは
　　H = AP*sinA = BP*sinB
になります。（１）を使って
　　H = AP*BP/2R　　（２）
三角形ABPの面積が最大になるのは、このHが最大になるときです。

　では、Hの最大値を求める方法を考えましょう。

（２）を適当な変数の関数で表わすことを考えます。
（１）に戻って、
　　AP = 2R*sinB
　　BP = 2R*sinA
において、角度A、Bをどちらか一方だけで表わすことを考えましょう。三角形なので、
　　∠B = 180° - ∠P - ∠A
の関係があり、180° - ∠P は定数なので、これを ∠Q （定数）とおいて、∠ の表記を省略して
　　B = Q - A
と書けます。（0°<Q<180°)
　これを使って、
　　sinB = sin(Q - A)
　　　　 = sinQcosA - cosQsinA
よって
　　AP = 2R*sinB = 2R(sinQcosA - cosQsinA)

これを使えば、（２）は
　　H = AP*BP/2R
　　　= 2R * sinA * (sinQcosA - cosQsinA)
　　　= 2R * [ sinQsinAcosA - cosQsin^2(A) ]　　← 2sinAcosA=sin(2A), sin^2(A)=[1 - cos(2A)]/2 を使う
　　　= R * [ sinQsin(2A) - cosQ * ( 1 - cos(2A) ) ]
　　　= R * [ sinQsin(2A) + cosQcos(2A) - cosQ ]　　← cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB を使う
　　　= R * [ cos(Q - 2A) - cosQ ]

これが最大になるのは、0°<Q - A<180° なので、-180°<(Q - 2A)<180° であることから
　　cos(Q - 2A) = 1
つまり
　　Q - 2A = 0°
のときで、このとき
　　A = Q/2
　　B = Q - A = Q/2
より
　　A = B
なので、三角形ABPは二等辺三角形になる。

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2016/04/21 21:47

三角形の面積は、ご承知の通り

　(1/2) × (定辺) × (高さ)
です。

定点ABをつないだ線分を「底辺」とすれば、点Pまでの距離が「高さ」ですよね。この「高さ」（線分ABとPとの距離）が最大になるのはどこでしょうか。
それを考えれば分かるでしょう。

あとは、それを「証明」という形にすればよいのです。