【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

数学の問題です。
円C上にある異なる定点A、Bがあり、また、円C上を動く同点Pがある。
三角形ABPの面積が最大になる時、三角形ABPがAP=BPの二等辺三角形になることを証明せよ、という問題です。

A 回答 (2件)

No.1です。

No.1に書いたことが直観的に分かっても、それをどうやって証明するかが問題ですよね。
ということで、証明のしかたのひとつを参考まで。

 定点ABが定まれば、動点Pの位置によらず
  ∠APB = 一定
になります。

 正弦定理より、円Cの半径を R とすれば
  AB/sinP = AP/sinB = BP/sinA = 2R  (1)
となります。

 一方、三角形ABPの面積は、ABを底辺にすれば、高さは
  H = AP*sinA = BP*sinB
になります。(1)を使って
  H = AP*BP/2R  (2)
三角形ABPの面積が最大になるのは、このHが最大になるときです。

 では、Hの最大値を求める方法を考えましょう。

(2)を適当な変数の関数で表わすことを考えます。
(1)に戻って、
  AP = 2R*sinB
  BP = 2R*sinA
において、角度A、Bをどちらか一方だけで表わすことを考えましょう。三角形なので、
  ∠B = 180° - ∠P - ∠A
の関係があり、180° - ∠P は定数なので、これを ∠Q (定数)とおいて、∠ の表記を省略して
  B = Q - A
と書けます。(0°<Q<180°)
 これを使って、
  sinB = sin(Q - A)
     = sinQcosA - cosQsinA
よって
  AP = 2R*sinB = 2R(sinQcosA - cosQsinA)

これを使えば、(2)は
  H = AP*BP/2R
   = 2R * sinA * (sinQcosA - cosQsinA)
   = 2R * [ sinQsinAcosA - cosQsin^2(A) ]  ← 2sinAcosA=sin(2A), sin^2(A)=[1 - cos(2A)]/2 を使う
   = R * [ sinQsin(2A) - cosQ * ( 1 - cos(2A) ) ]
   = R * [ sinQsin(2A) + cosQcos(2A) - cosQ ]  ← cos(A-B)=cosAcosB + sinAsinB を使う
   = R * [ cos(Q - 2A) - cosQ ]

これが最大になるのは、0°<Q - A<180° なので、-180°<(Q - 2A)<180° であることから
  cos(Q - 2A) = 1
つまり
  Q - 2A = 0°
のときで、このとき
  A = Q/2
  B = Q - A = Q/2
より
  A = B
なので、三角形ABPは二等辺三角形になる。
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三角形の面積は、ご承知の通り


 (1/2) × (定辺) × (高さ)
です。

定点ABをつないだ線分を「底辺」とすれば、点Pまでの距離が「高さ」ですよね。この「高さ」(線分ABとPとの距離)が最大になるのはどこでしょうか。
それを考えれば分かるでしょう。

あとは、それを「証明」という形にすればよいのです。
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