ジョルダン標準形から分かることとは

行列Aのジョルダン標準形が、

110
011
001

であるとき、Aは回転行列であると結論できますか。

No.3 回答者： 29-Q 回答日時： 2016/05/04 18:28

むしろJordan標準形がご質問の形になる回転行列は存在しません.

任意の回転行列は対角化可能で, 対角化(Jordan標準形)は
A=e^(iθ), B=e^(-iθ)を互いに複素共役な絶対値1の複素数として

A00
0B0
001

の形となります.

これは回転軸方向のベクトルの固有値が1で, その直交補空間である平面内の回転が角度θであることの言い換えです. すなわち,

3次元回転行列が与えられた時,
回転軸方向のベクトルに対する固有値が1であることから, 3次元空間の基底の一つを回転軸方向のベクトルに取れば,

ab0
cd0
001

ただし,

ab
cd

は2次元回転行列

の形になり

さらにこの平面(2次元実ベクトル空間)の任意の長さが等しい直交基底(実ベクトル)をx, yとした時,

新たにz=x+iy, z'=x-iyという基底を取れば, 2次元回転行列の作用は
絶対値が1の複素数倍に過ぎず, (z,z')→(Az,Bz')となる,
つまり2次元回転行列は

A0
0B

の形に表されるわけです.
ところでこのような基底は実ベクトル空間には取れず, 複素ベクトル空間に拡張して初めて取ることができます.
そのため行列の固有値もまた複素数になるというわけです.

No.2 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/01 14:13

根本的なところで、間違っていませんか。

>回転行列の固有ベクトルは回転軸方向しかないので固有ベクトルは１本だけのはず。
回転行列を1つ決めるためには、回転軸と回転する角度を決める必要があります。
極端な例として、回転する角度 = 2π ならば、何もしないのと同じですよね。
それならば、「回転行列の固有ベクトルは回転軸方向しかない」という主張は、本当に正しいのでしょうか。

>回転軸方向には変化しないので固有値は１しかないはず。
回転行列の固有値は、常に実数でしょうか。

先ほど述べた「何もしない回転」があるので、単位行列も回転行列といえます。
単位行列のジョルダン標準形は、具体的に分かりますか。

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2016/05/01 11:51

まず、そのジョルダン標準形が回転行列であると結論できるかどうか、考えることから始めてはいかがでしょうか。

この回答へのお礼

まず考えたことは。
回転行列の固有ベクトルは回転軸方向しかないので固有ベクトルは１本だけのはず。
次に回転軸方向には変化しないので固有値は１しかないはず。
これより回転行列のジョルダン標準形は、

110
011
001

となるはず。
一方逆に考えて、行列Aのジョルダン標準形が上記と同じならばAは回転行列になるのかと考えた。
Aは回転行列になりますか。

お礼日時：2016/05/01 12:34