自己随伴行列と内積

Wが自己随伴の条件　W*＝W　を満足する行列と、関数を要素とするベクトルｈを使った内積

質問１
(Wh,h) はどのように定義しますか？
私は、左側の要素は共役複素数にして、右のｈの要素との積和を取る
と思っています。

質問２
このとき、
(d/dx)(Wh,h)=(W'h,h) + 2(Wh,h')
は成立するのでしょうか？
私は、
(d/dx)(Wh,h)=(W'h,h) + (Wh’,h) + (Wh,h')
=(W'h,h) + (h’,W*h) + (Wh,h')
=(W'h,h) + 2Re( (Wh,h') )
だと思います。

出どころは
変分法　での　リカッチの行列方程式　のところです。
本は、ｐ123　変分法　　イ。エム。ゲリファント　　　文一総合出版

よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： hiccup 回答日時： 2016/06/26 15:30

質問１に対するわたしの答え

積和みたいなのは行列のときのみ。わからないときは行列っぽくやって確認しますが、普段からそんなんじゃカッコワルイかなと思ってしません。
私が読んだ本ではスカラー倍の扱いがあなたのと違うので、もし話をするなら、スカラー倍のところだけ話が噛み合わないでしょう。

αの共役複素数をβとすると　α(x,y)=(αx,y)=(x,βy)

と、こんな感じですから、どちからというと右ですね。



質問２に対するわたしの答え（正しいとは言わないので自分で確認してください）

エルミート的な内積なら自己随伴な変換をはさんでもエルミート的なんじゃないかな。すなわち

(Wh,h)=(h,Wh)　←自己随伴
(Wh,h)=(h,Wh)の複素共役　←エルミート的内積

よって (Wh,h) は、実数値。

そしてもう一つ。(Wh,h) が実数値関数なら複素変数で微分するなんてできないでしょ？実際、定義までさかのぼって微分しようとすると、内積の右の項（あなた流だと左の項）で微分にならないでしょう。そこでわたしは x を複素変数の実部と推測しました。そうすると辻褄が合います。

複素変数 z=x+iy 、解析的な関数 f=u+iv（※ともに実部と虚部に分けた）に対して

　　df/dz = ∂u/∂x +i∂v/∂x

なので、

　　∂W/∂x=dW/dz 、∂h/∂x=dh/dz

が使われているのではないでしょうか。
つまり、内積の外と内にある微分の意味が違う（ダッシュ（プライム）は複素変数による微分）。と、私なら読んでますね。


なお、数学用語など記憶違いがあるかもしれません。また、アホ回答かもしれません。参考程度でゆるしてね。あと、わたしは変分法を知りません。

この回答へのお礼

有難うございます。

この本はずっと実数で話が進んでいたのに、
急に複素数の行列が出てきて、悩んでいました。
確かに、微分の所でとても困ります。

しばらくは、Wは実対称行列だとして証明の内容を考えてみることにします。

お礼日時：2016/06/26 23:24

No.2 回答者： hiccup 回答日時： 2016/06/28 16:26

No.1 を訂正しなければと思いました。

間に合ってよかったです。

もしかして h とは、実数から複素数体上のベクトル空間への微分可能な関数ではないですか？

だとすると、実変数 x での微分ができますね。∂/∂x ではなく d/dx である理由がこれなのでしょう。
(Wh, h) は x の実関数ですから、質問２における本とあなたの考えは同じです。（わたし間違えてます？）

イメージすると、h は、ベクトル空間の（実１次元の）滑らかな曲線を表していると考えていいんじゃないでしょうか。

読んでないから当てずっぽですけどね。

この回答へのお礼

有難うございます。

積分をして、その結果の値の大小関係を調べるので、
なるべく、複素数を避けて話がまとまればそのほうが良いと考えました。
そこで、
Wを実数の値をとる対称行列
として、証明を見直したら
何とかなりましたので、勝手に、条件を変更することにします。

お世話になりました。

お礼日時：2016/06/28 23:16