至急！連立微分方程式の解き方を知りたいです！

下の写真の連立微分方程式が、一応答えまで出したのですが分かりません。ピンクの字のところが疑問点です。根本から間違えてるかもしれませんが(>_<)
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/08/01 16:01

上のピンクの部分は、単に

　y = 2x - dx/dt　　　（１）
を t で微分しただけ。
　微分してみれば
　　dy/dt = 2dx/dt - d(dx/dt)/dt
　　　　　= 2dx/dt - d^2x/dt^2　　　（２）
ああ、手書きの記号の書き方が間違えているね。「X^2を微分する」のではなく「x を2階微分する」のですよ。

下のピンクの部分は、x と t の関数のお話。ここには y は関係ない。
　　d^2x/dt^2 = -x　　　（３）
なので、「2階微分すると元の関数のマイナスになるもの」ということで、
　　x = A*sin(t) + B*cos(t)
が解のひとつになります。（A, B は任意の定数）
検算のため２回微分してみれば
　　dx/dt = A*cos(t) - B*sin(t)
　　d^2x/dt^2 = -A*sin(t) - B*cos(t) ＝ -x　
で確かに元の2階微分方程式（３）を満足します。

これより（１）に代入して
　y = 2A*sin(t) + 2B*cos(t) - [ A*cos(t) - B*sin(t) ]
　　= (2A+B)*sin(t) + (2B - A)*cos(t)

一方②式からは
　dy/dt = (2A+B)*cos(t) - (2B - A)*sin(t)
②の右辺は
　5x - 2y = (5A - 4A - 2B)sin(t) + (5B + A - 2B)cos(t)
　　　　 = (A - 2B)sin(t) + (A + 3B)cos(t)
なので、係数どうしを比較して
　A - 2B = A - 2B　　←ここからは何も出て来ない。
　2A + B = A + 3B
より
　A = 2B

よって、このまま B を任意の定数として
　x = 2B*sin(t) + B*cos(t)
　y = 5B*sin(t)

この回答へのお礼

なるほど！
答えまで出して頂いてありがとうございます！
間違っているところなど細かく指摘して下さって助かりました。ありがとうございます。

お礼日時：2016/08/01 16:31

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/01 02:44

元の式が dx/dt = ... とか dy/dt = ... とかだから, x と y はどちらも ｔ の関数. つまり t は

消さなくていい (というか消しちゃダメ).

この回答へのお礼

なるほど、二回も解答ありがとうございます(^ ^)
助かりました！

お礼日時：2016/08/01 10:20

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/08/01 01:50

上は単に t で両辺を微分しただけ. 下は斉次線形常微分方程式の解法として有名なやつで例えば

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%BE%AE%E5%88%86 …
を参照のこと. ただし答えはめちゃくちゃ. t はどこに行ったんだよ.

この回答へのお礼

回答ありがとうございます(^ ^)
そうか、ピンク四角の上の式がxとtのやつだから、まずxをtで表して、それからyをtで表すんですかね...？
最終の答えはyとxのみ使用（x＝○○tとy＝▽▽tからt消去）ですか？

お礼日時：2016/08/01 01:55