判断推理です。おしえていただきたいです。

Question

ayusa02 · Accepted Answer

太郎が３～８のカードを出し、次郎が３～８のカードを出せば、６引き分け。残り二枚では次郎が勝つので、１の２敗６引き分けはある。

太郎が４～８のカードを出し、次郎が３～７のカードを出せば、太郎の５勝。太郎が１～３のカードを出し、次郎が８～１０のカードを出せば、太郎の３敗。従って、２の５勝３敗もある。

太郎が５～８のカードを出し、次郎が５～８のカードを出せば、４引き分け。太郎が１，２，３，４のカードを出し、次郎が３，４，９，１０のカードを出せば、太郎の４敗。従って、３の４勝４敗もある。

太郎が４～６のカードを出し、次郎が４～６のカードを出せば、３引き分け。太郎が７，８のカードを出して、次郎が３，７のカードを出せば、太郎の２勝。太郎が１～３のカードを出して、次郎が８～１０のカードを出せば、太郎の３敗。従って、５の２勝３敗３引き分けもある。

ありえない勝敗は“４”。

yhr2 · Answer

ちょっと解析的にやってみました。

勝ちの数差は「+1以上」、負けは「-1以下」、引き分けは「0」で、
太郎が「A勝、B敗、C引き分け」の場合、次郎はその逆の「B勝、A敗、C引き分け」なので、m, n ≧ 1 の実数として

（太郎が勝ちに使った数の合計：TW）=（次郎が負けたときに使った数の合計：JL）+ A*m
　（太郎が負けに使った数の合計：TL）=（次郎が勝ちに使った数の合計：JW）- B*n
　（太郎が引き分けに使った数の合計：TD）=（次郎が引き分けに使った数の合計：JD）

と書けます。

そうすると

（太郎の使った得点）= TW + TL + TD = 36
　　　　　　　　　　　= JL + A*m + JW - B*n + JD 
　（次郎の使った得点）= JW + JL + JD = 52
より
　　A*m - B*n = -16　　　①

また、A*m、B*n の取りうる範囲は、太郎＞次郎となる最大値が 5、太郎＜次郎となる最大値が 9 であり、勝ち負け数が多くなると1組あたりの差は小さくなることから
　　A ≦ A*m ≦ A(6 - A)　　　②
　　B ≦ B*n ≦ B(10 - B)　　　③
と書くことができます。

あとは、各選択肢をこれにあてはめてみます。

（１）A=0, B=2 なので、①より
　-2n = -16
　n = 8 
条件は、③より
　2 ≦ 2n ≦ 2(10 - 2)　→　1 ≦ n ≦ 8
なので、n=8 はこの範囲内であり、あり得る。

（２）A=5, B=3 なので、①より
　5m - 3n = -16　→　3n = 5m + 16
条件は、②③より
　5 ≦ 5m ≦ 5(6 - 5)　→　1 ≦ m ≦ 1
　3 ≦ 3n ≦ 3(10 - 3)　→　1 ≦ n ≦ 7
なのであり得る。たとえば (1, 7) など。

（３）B=4 なので、①より
　-4n = -16
　n = 4 
条件は、③より
　4 ≦ 4n ≦ 4(10 - 4)　→　1 ≦ n ≦ 6
なので、n=4 はこの範囲内であり、あり得る。

（４）A=1, B=2 なので、①より
　m - 2*n = -16　→　2n = m + 16　　　④
条件は、②③より
　1 ≦ m ≦ 1(6 - 1)　→　1 ≦ m ≦ 5
　2 ≦ 2n ≦ 2(10 - 2)　→　1 ≦ n ≦ 8
なので④を満たす m,n の組はあり得ない。

（５）A=2, B=3 なので、①より
　2m - 3n = -16　→　3n = 2m + 16　　　⑤
条件は、②③より
　2 ≦ 2m ≦ 2(6 - 2)　→　1 ≦ m ≦ 4
　3 ≦ 3n ≦ 3(10 - 3)　→　1 ≦ n ≦ 7
なのであり得る。たとえば (1, 6) など。

こんな感じでどうでしょうか。

太郎が３～８のカードを出し、次郎が３～８のカードを出せば、６引き分け。