小学校高学年の算数の解き方

問題は、
”ある日の夜の長さは、昼の長さの9/11でした。この日の昼の長さは、何時間何分だったことになりますか。”

回答には、24÷(1+9/11)=13.2 答え 13時間12分
とありました。

(1+9/11)が昼の長さを1とした時の長さと夜の長さの割合を足したもの、というところまでは理解できましたが、なぜ24時間を二つの割合の足し算で割ると昼の長さが出てくるのかが分かりません。

上の問題は、小学校高学年用参考書の「割合」の学習で

1.割合=比べる量÷もとにする量
2.比べる量=もとにする量×割合
3.もとにする量=比べる量÷割合

という公式を一通り練習した後の力試し問題です。

3つ目の公式に該当しているのかと思ったのですが、なぜ比べる量に24時間が来て、割合に昼と夜の割合の合計が来てしまうのか考え方の筋道が分からないので説明もできず困っています。できれば、数学的な解き方ではなく、小学生の子供にも理解できるように教えていただけたら幸いです。

質問者からの補足コメント

• お礼を書かなければと思いながら遅くなり申し訳ないです。その間にたくさんのご回答有難うございました。こんなに回答がいただけて有難い限りです。一つ一つ読ませていただいておりますが、個別にお礼が出来るか分かりませんので、ひとまずこの場を借りて皆様にお礼を申し上げます。

    補足日時：2016/08/28 22:35

No.13 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/28 11:29

9/11（夜の長さ）、11/11（昼の長さ）9/11+11/11=(9+11)/11(１日の長さ)。

これらはすべて割合、分母が11、つまり昼の長さの割合が基準です。
それぞれ対応する実時間は？、9/11(夜の時間不明)､11/11（昼の時間不明）、9/11+11/11（24時間）。
２４時間×11/11（昼の時間不明）/9/11+11/11（24時間）=昼の時間
２４×(11/11)/(9/11+11/11)=昼の時間
式変形すれば24×1/(1+9/11)=昼の時間 、このまま計算すればＯＫですが
分数のかけ算は逆数のわり算ですね、24÷（1+9/11）、この式の登場する余地有りません。
先の回答者も言っています、基準量×割合＝部分量（求める量）だけ覚え、後は式変形。
もし割合を求める必要が有るときは、この式とは全く無関係の作業になります、結果求められた割合の数値をこの式に当てはめるだけとなります。
丸暗記要領の言葉との対応を気にすること無く、24時間の、昼/一日＝昼の時間、多分当初の私を始め、貴方、極一般的な人の常識？、の理解で解けると思います。
注意点は、昼の時間数/一日の時間数、このままでも割合ですが、通常は約分した分数になります、その割合を昼を基準とした割合から１日の割合を求めたため1+9/11になります、指数で言えば低い所が基準なら、100以上の指数が続出しますね、数値は昼を基準にした数値ですが、内容は一日に対する昼の割合ですね、先に挙げた基本式にそのまま適用できます。

No.12 回答者： lupan344 回答日時： 2016/08/27 22:43

あえて、質問文に書いてある学習内容に沿って考えると、以下のとおりでしょう。

まず、夜と昼の割合を考えると、昼をもとにする量だとすると、夜の割合は9/11ですね。
夜と昼を足したのが、一日で、それは24時間です。
一日の昼に対する割合は、昼＋夜ですから、1＋9/11＝20/11です。
質問文の中の3より、昼の時間（もとにする量）＝24時間（比べる量）÷20/11（割合）＝13.2時間→13時間12分となります。

No.11 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/25 10:24

問題中でのヒント9/11、これは割合ですね。

１から、割合[9/11]=比べる量[9（夜の長さの割合数値）]÷もとにする量[11（昼の長さの割合数値）]
一日の長さの昼の長さにする割合＝9/11+11/11=1+9/11[もとの長さ（昼）に対する割合]
これを３に当てはめると。
元にする量[昼の長さ]＝比べる量[[１日の長さ]÷割合[1+9/11].
以上　１日の長さに２４時間の実数を入れて計算すれば昼の長さの時数が出ます。
そうです、２４時間に対応する割合1+9/11は昼の長さの割合数値を、もとにする数、にして計算された、比べる数なのです。
示された数値と丸暗記要領で使われている言葉と、確実に対応させる必要があります、そしてその対応の関係を最後まで。
数字と言葉の対応をおろそかにしたままだと、２４時間×昼の割合＝昼の時間、から、２４時間を「もとになる量」と感違いすると理解できなくなります。

No.10 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/08/25 00:51

６年生の「比と比の値」

https://kids.gakken.co.jp/box/sansu/06/tan06.html
を習っているのならば、この問題は基本的な問題です。
https://kids.gakken.co.jp/box/sansu/06/pdf/B0364 …
とかですかね。

５年生の「割合と百分率」
https://kids.gakken.co.jp/box/sansu/05/tan15.html
しか習っていない、とすると、その範囲でどうやれば解けるのか、ちょっと考えてみましたが、
絶対に不可能とは言いませんが、そうとうにトリッキーなことをしないと無理だと思います。

No.9 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/08/25 00:36

うーん。

そこにある３つの公式を学習しただけで、この問題をいきなり解かせるのは、そうとうに無理があると思う。（他の回答者の方の回答を見ても）
「割合」ということは、５年生ってことですよね。

この問題は、普通に考えれば、５年生で習う「割合」の問題ではなくて、６年生で習う「比の計算」の範囲だと思う。
５年生に解かせるのは、相当に難度が高いと思いますけど。

小学校高学年用参考書となっているので、５年生・６年生の区別がない参考書なんでしょうか。

No.8 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/24 18:34

二番煎じですが言葉で表現して見ました。

昼の長さをもの指しで計りました目盛りは１１でした。
同じものさしで夜の長さ計りました目盛りは９でした。
では昼と夜を合わせた１日はこのこのものさしでは目盛り幾つ？、11＋9＝20ですね
24時間を20で割って9つ足すと夜の時間ですね。
では昼の時間は、すでに計算式できていますね、24×11/20（これができない子なら丸暗記に頼るしか・・・）
＞(1+9/11)、割合の数値は確かだが、正直どういう割合か私にもわかりません、ましてや丸暗記に頼るようではどうでしょう。
昼の時間を１１としたのはその場限り、なんの基準も有りません。
言い換えれば、べつに１１でなく１２、でも１３でもどんな数値でもよいのです、ただし分子が整数になるとは限りませんが・・、たま、たま分子も整数になっただけです。

No.7 回答者： fxq11011 回答日時： 2016/08/24 11:32

>(1+9/11)が昼の長さを1とした時の長さと夜の長さの割合を足したもの

1+9/11=20/11、から２０＝２４時間ですね、なら１１（昼）は何時間？。
24時間を２０等分、そのうち１１等分分が昼、１日＝２０のうち１１が昼ですね、11/20=昼
24/20×11/20
=（24×１１）/20
24×11/20
=13.2(13時間１２分)
確かに24×11/20は２４÷20/11=24÷（1+9/11）に相違はないですが。
問題の意図がわかりません。
夜の長さ＝9/11・・・ただし、もとにする量は昼
１日の長さ＝9/11+11/11=20/11もとにする量は昼
３に当てはめると２４÷20/11、ですね。
ただし、もとにする量＝昼の時間、という理解ができれば・・・・。
私に言わせれば
＞1.割合=比べる量÷もとにする量
2.比べる量=もとにする量×割合
3.もとにする量=比べる量÷割合
この丸暗記の内容、方法が不適切とも思えます。

No.6 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2016/08/23 19:24

＞という公式を一通り練習した後の力試し問題です。

　そんな算数の勉強方法は最悪ですよ。公式を丸暗記して、それに当てはめて解こうとしても、そもそも理解していないのだから、ちょっとひねられたら手も足も出ない。
　あなたの状況は、それじゃないかと。

　算数（数学）は、曖昧模糊とした自然言語の世界を、厳格な人工言語である数式に置き換えて考える学問。。道具ですから、それを使うためには、言葉として理解できていることが大事なのですよ。

　[割合] = [比べる数] / [基準になる数]　という一つだけ理解しておけばよい
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　^^^^^^^^^^^^^^^^^^
　　　数式だと、両辺に[基準になる数]をかければ、[割合]×[基準の量] = [比べる数]　になりますし、その両辺を[割合]で割れば、[基準の量] = [比べる量] / [割合] になりますね。・・・数式で考えると簡単明瞭ですが、それが言葉でも理解できていることが肝心なのですよ。
　安打数を打率で割れば打席数、二割引きがその価格なら、定価はいくらかとか

★ポイントは、[割合] 、 [比べる数]、[基準になる数]が、都度都度変わるということ。つねに今はそれはどれなのかを理解できていないと、始まらない。言い換えると国語力こそが算数で最も重要なのです。算数って、しょせん国語問題といってもよい。

＞ある日の夜の長さは、昼の長さの9/11でした。
　このときは、
[割合] ：9/11
[比べる数]：夜の長さ
[基準になる数]：昼の長さ
ですが
＞この日の昼の長さは、何時間何分だったことになりますか。
　今度は
[割合]：？？
[比べる数]：昼の長さ
[基準になる数]：一日の長さ
　になるということですね。

＞なぜ比べる量に24時間が来て、割合に昼と夜の割合の合計が来てしまうのか
　公式だけを覚えているから、そんなおかしな理解になる。

1) ある日の夜の長さは、昼の長さの9/11でした。
　全体は、9/11 + 11/11 = 20/11 だということはわかりますか？？ちゃんとイメージできているのかな？
　　　　　　　　　￣￣=1 (基準)
　図を描かせてごらんなさい。図を描いて説明したらだめですよ。
　その子に足りないのは、この一文から状況をイメージする能力がないのですから、それを示したのでは意味がない。
　|　←夜→　|　←　昼　→　|
　 [比べる数]　　[基準の数]
　　という図がイメージが思い浮かぶかが大事です。

2) この日の昼の長さは、何時間何分だったことになりますか。
　　　　　　　　[比べる数]
　|　　　　　|　←　昼　→　|
　|　←――　一日　―――→ ｜
　　　　　[基準の数]

　　　　　　　　[比べる数]
　|　　　　　|　← 昼 11/11 →　|
　|　←―――　一日 20/11 ―→ |
　　　　　[基準の数]

割合は、[比べる量] / [基準の量] ですから、
　　　　　11/11　/　20/11　　　　= 11/20
ですね。
★ここで、はじめて
[比べる量] = [基準の量] × [割合]
　　　　　 = 　24　　　× 11/20
　　　　　 = 264/20
　　　　　 = 13 + 4/20
　　　　　 = 13と2/10時間
　　　　　 = 13時間と１２分

【ポイント】
＞なぜ比べる量に24時間が来て、割合に昼と夜の割合の合計が来てしまうのか考え方の筋道が分からないので
　その解説、あるいは解釈はおかしいです。解き方や公式を頼りにするから混乱するし、ますますわからなくなる。

割合も比と全く同じですよ。
要は、
夜と昼の比が、9:11 ということ。　 9/11 : 11/11 ですからね。
なら、一日との比は、9:11:(9+11)　ですよ。
昼と一日の比だけだと、
　　11: 20
=　？ : 24
ですから、あっというまに答えは出る。

常に、割合を考えるときは、それぞれがこの場面では何かを読み取り理解すること。

　本をたくさん読みましょう。マンガじゃなくて絵のない本ですよ。だって漫画だと、作者が図示してくれているから、自分で読んだり聞いたりすることからイメージを作り上げなくて済む。どんどんおつむは空っぽになる。
　割合も比も、読解力・国語力が必要です。

No.5 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2016/08/23 10:43

昼の長さ：夜の長さ＝１１：９（＝１：９／１１）

というのはわかりますよね？
したがって、
一日の長さ：昼の長さ＝２０：１１（＝１＋９／１１：１１）
というのはわかるでしょうか？
一日は２４時間なので、
２４時間：昼の時間数＝２０：１１（＝１＋９／１１：１１）
です。
したがって、
昼の時間数＝２４／２０×１１＝１３．２時間＝１３時間１２分
です。

No.4 回答者： ウシサソリ 回答日時： 2016/08/22 23:49

1日=24時間=夜の長さ+昼の長さ

夜の長さ:昼の長さ=9/11:1
以上の関係から、
24時間=(9/11 + 1)×昼の長さ
よって
昼の長さ=24時間÷(9/11 + 1)