(1) 不等式2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)を
満たすxの値の範囲は【?】と表すことが出来て、α=?、β=? である。
(2)xの範囲が(1)で求めた範囲であるとき、関数y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8は
x=?のとき最小値?、x=?のとき最大値?をとる。
底のそろえ方や真数条件などさっぱり分かりません。
一応解答は
(1) 不等式2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)を
満たすxの値の範囲は【α≦x<β】と表すことが出来て、α=-5/2、β=3/2 である。
(2)xの範囲が(1)で求めた範囲であるとき、関数y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8は
x=-1のとき最小値4、x=-5/2のとき最大値40-16√2をとる。
です。
詳しくお願いします!!
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
>底のそろえ方や真数条件などさっぱり分かりません。
それでは下記の説明もチンプンカンプンでしょう。
「対数」の基本を復習することが先決ですね。
(対数という「表記方法」に惑わされずに、下記のように定義にかえってその意味を考えれば理解できるはず)
(1)対数は、 [a] を「底」を表わすものとして
y = log[a](x)
は
x = a^y
ということですから、
x > 0
でないと定義できません。これが「真数条件」です。
与えられた不等式においては、真数条件は
3 - 2x > 0
2 - x > 0
ということです。
これより、xは上記の2式を同時に満たさないといけないので
x < 3/2 ①
さらに、この不等式の log[9]A と log[3]B とは直接足し算ができません。
対数の定義に戻って
log[9](3-2x) = Y
とおけば
3 - 2x = 9^Y = (3^2)^Y = 3^2Y
ここで
2Y = Z
とおけば
3 - 2x = 3^Z
これを再度対数にすれば
log[3](3 - 2x) = Z
ということです。Z = 2Y なので
Y = (1/2)Z = (1/2)log[3](3 - 2x)
これは、ふつう底の変更の「公式」で、
log[9](3-2x) = {log[3](3-2x)} / {log[3](9)} = {log[3](3-2x)} / 2
と計算してしまいますが、やっているのは上に書いたようなことです。
これにより、不等式の左辺は、同じ底の対数として計算できて
2log[9](3 - 2x) + log[3](2 - x)
= 2{(1/2)log[3](3 - 2x)} + log[3](2 - x) ←上の Y
= log[3](3 - 2x) + log[3](2 - x)
= log[3](3 - 2x)(2 - x) ←対数の足し算は、中に入れて真数のかけ算
= log[3](6 - 7x + 2x^2) ②
一方、不等式の右辺は
2(1+log[3]2)
= 2(log[3]3+log[3]2) ←log[3]3 = 1 なので
= 2log[3](3 × 2) ←対数の足し算は、中に入れて真数のかけ算
= 2log[3](6)
= log[3](36) ③
②③から、与えられた不等式は
log[3](6 - 7x + 2x^2) ≦ log[3](36)
となり、底が同じなので真数同士の
6 - 7x + 2x^2 ≦ 36
と等価になります。
これを解けば
2x^2 - 7x - 30 ≦ 0
(2x + 5)(x - 6) ≦ 0
より
-5/2 ≦ x ≦ 6
真数条件①があるので、
-5/2 ≦ x < 3/2
ということになります。
(2)は、まず関数の形を簡素化して
y = (1/4)^x - 2^(-x+2) + 8
= 2^(-2x) - 2^(-x+2) + 8
= [2^(-x)]^2 - 4*2^(-x) + 8
ここで z = 2^(-x) とおくと
y = z^2 - 4z + 8
= (z - 2)^2 + 4 ④
となります。
(1)より -5/2 ≦ x < 3/2 なので、これを z にあてはめると
2^(-3/2) < z ≦ 2^(5/2)
つまり
√2/4 < z ≦ 4√2
となり、④の放物線の形より
z=2 のとき最小値 y=4
z=4√2 のとき最大値
y=(4√2 - 2)^2 + 4
= 32 - 16√2 + 4 + 4
= 40 - 16√2
となることが分かります。
z=2 のとき 2 = 2^(-x) より x=-1
z=2^(5/2) のとき 2^(5/2) = 2^(-x) より x=-5/2
なので
x=-1 のとき最小値 y = 4
x=-5/2 のとき最大値 y = 40 - 16√2
ということになります。
No.1
- 回答日時:
(1)2log[9](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
3-2x>0,2-x>0
3/2>x,2>x・・・①
2{log[3](3-2x)/log[3](9)}+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
2{log[3](3-2x)/2}+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(1+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(log[3]3+log[3]2)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦2(log[3]6)
log[3](3-2x)+log[3](2-x)≦(log[3]36)
log[3](3-2x)(2-x)≦(log[3]36)
(3-2x)(2-x)≦36
2x^2-7x-30≦0
(2x+5)(x-6)≦0
-5/2≦x≦6・・・②
①・②より
-5/2≦x<3/2
(2)
y=(1/4)^x-2^(-x+2)+8
=(2^-2)^x-2^(-x+2)+8
=(2)^-2(x)-2^(-x+2)+8
=(2)^-2(x)-4×2^(-x)+8
2^-x=nとすると
=(n-2)^2+4
-5/2≦x<3/2より
n=2の時最小値4
2^-x=2
x=-1
x=-1時最小値4
-5/2≦x<3/2より
2√2<n≦4√2
n=4√2(x=-5/2)の時最大値
(4√2-2)^2+4=40-16√2
x=-1の時最小値4
x=-5/2の時最大値40-16√2
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