4次の相反方程式について

x^4-2x^3-5x^2+2x+1=0
のような4次の相反方程式があったときに、
(x^2-1)^2-2x(x^2-1)-3x^2=0
と変形し、x^2-1=tとおいて、
t^2-2xt-3x^2=0
として、t=x±√(x^2+3x^2)
のように解の公式を利用することはできるのでしょうか？
また、できないならば、なぜできないのでしょうか。
一般的な相反方程式の解法は存じている(x^2で割ってt=x-1/xとおく)ので、
この解法の可否を教えてください。
よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 説明不足でした。申し訳ありません。
  目標は4次方程式の解を出すことです。
  t=x±√x^2+3x^2
  =x±√4x^2
  =x±2x=3x,-x
  なので、x^2-1=3xとx^2-1=-xを解けばxの値が求まるのではないかと考えました。
  いかがでしょうか。

    補足日時：2016/09/18 01:15

No.4 ベストアンサー 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/19 00:32

これってそもそも「相反方程式」じゃないよなぁと本題とは全く関係ないことを突っ込みつつ, 2次方程式の解の公式がどのように導かれたのかを振り返りながらちょっとずつ進めてみよう.

(1) t^2 - 2xt - 3x^2 = 0
(2) t^2 - 2xt + x^2 = 4x^2
(3) (t-x)^2 = 4x^2
(4) t-x = ±2x
(5) t = 3x または -x

(1) から (5) へ変形していくところのどこかに違和感はありますか?

この回答へのお礼

逆数方程式のほうが正確でしたかね。

解の公式をいきなり使うから違和感があっただけで、
そもそもの考え方から見ると全く違和感がないですね。
なるほど納得しました。ありがとうございます！

お礼日時：2016/09/19 01:03

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/18 01:46

「できるかできないか」という観点では「できる」んだけど....

本質的に「一般的な相反方程式の解法」と同じだからねぇ.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
xが定数なら違和感なく解の公式を使えるのですが、
tがxの関数なのに解の公式を使っても可能というのが少し違和感があるんですよね・・・

お礼日時：2016/09/18 12:40

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2016/09/17 23:55

解の公式を利用して、

t=x±√(x^2+3x^2)
とするのは、「数学の計算としては」間違ってはいません。正しいです。

ただ、何のためにそれをするのか？と考えると、「方程式の解法」としてはおかしいですね。。
確かに、
t=x±√(x^2+3x^2)
なことはわかりました。ですが、それで、肝心の元の方程式（x^4-2x^3-5x^2+2x+1=0）の解は（x=？）に近づきましたか？
無理やりこの式を使って、x=？を求めるには、もともとの、x^2-1 = t を代入して、
x^2-1 = x±√(x^2+3x^2)
という方程式を考えることになります。これが、元の方程式（x^4-2x^3-5x^2+2x+1=0）よりも簡単になったとは全く言えないでしょう。

この解法のどこに問題があったかというと、
t^2-2xt-3x^2=0
という方程式に係数として x が残っていることです。
「x^2で割ってt=(x-1)/xとおく」やり方では、tの２次方程式の係数は全て定数（xを含まない）になるはずです。

この回答へのお礼

言葉足らずで申し訳ありません。
補足のように行えば、4次方程式を2つの2次方程式に分解できるように考えたのですが、いかがでしょうか。

お礼日時：2016/09/18 01:19

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2016/09/17 23:49

そのあとはどうするつもりなんでしょうか?

この回答へのお礼

言葉足らずでした。申し訳ありません。
そのあとは補足のようにするとxが求まるのではないかと考えました。

お礼日時：2016/09/18 01:17